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jueves, 17 de septiembre de 2009

Progresión Aritmética

Progresión Aritmética: Es una serie de términos de modo que cada uno de ellos es igual al anterior (el que le precede) aumentado en una cantidad constante llamada razón de la progresión.

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Ejemplo: 3, 8, 13, 18, 23, 28 ....

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Primer término es: 3
Razón de progresión: 5 ( 8 = 3+5; 13= 8 + 5 ..... r=5)
Tipo de progresión: Creciente.

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Cálculo del último término de la Progresión Aritmética:

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a: Primer término.
u: Último término.
r: razón o diferencia común.
n: número total de términos.
S: Suma de los n términos.

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Así podemos escribir:

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Primer término: a
Segundo término: a +r
Tercer término: a+2r
Cuarto Término: a+3r
.....
25 término: a +24r
.....
último término: a + (n-1)r

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Términos Equidistantes de los Extremos:

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Sea la progresión Aritmética:
a, b, c, d, h .... l, q, s, t, u

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Siendo "h" el término que tiene K términos antes que él, y "l" otro término de la misma progresión que tiene K términos después de él. Quiere esto decir que los términos h y l son equidistantes de los extremos a y u. Si la razón de la progresión es "r"
h=a+kr

l=u-kr
Sumando miembro a miembro:

h + l = a +u

Es decir,"en una progresión aritmética, la suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la suma del primero con el último.
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Suma de los Términos de una Progresión Arimética:
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Designemos por S la suma de los "n" términos de la progresión aritmética:
a, b, c, .... s, t, u.
S= a+b+c+.....+s+t+u
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poniendo lo anterior de otra forma:
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S=u+t+s+.....+c+b+a
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Luego sumando término a término:
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2S= (a+u) + (b+t) + ..... (c+s)+(t+b)+(a+u)

Pero cada uno de estos paréntesis suma (a+u) porque cada par de términos equidistantes de una pregresión aritmética suman igual que la suma del primero y el último.
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2S = n(a+u)
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S= (a+u)n/2
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Problema: Encontrar una fórmula que sirva para calcular la suma de los n primeros números impares.

Primer impar: 1
Segundo impar: 1+2
Tercer impar: 1+2x2
Cuarto impar: 1+3x2
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(último impar) n impar: 1+(n-1)x2=1+2n-2=2n-1
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S = {1+(2n-1)}xn/2 ={1+2n-1}xn/2={2n}xn/2=nxn, n elevado al cuadrado.
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OBSERVACION: Los griegos de la escuela Pitagórica ya habían calculado este resultado, usando el truco de representar los números por puntos en la siguiente figura geométrica:Los números impares los situaron formando un cuadrado:

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