Término enésimo de la Serie de Fibonacci

Solución

Solución (Soluciones): Valor(es) de la incógnita o de las incógnitas de una ecuación que realizan la dasigualdad.

Variable

Variable: letra en una ecuación o desigualdad que representa una cantidad susceptieble de tomar valores distintos.

Teorema Incompletitud de Gôdel - Tomado de Wikipedia

Teorema de la Incompletitud de Gôdel:

En lógica matemática, los teoremas de incompletitud de Gödel son dos célebres teoremas demostrados por Kurt Gödel en 1930. Simplificando, el primer teorema afirma:

En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales, se puede construir una afirmación que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema. Kurt Gödel

Este teorema es uno de los más famosos fuera de las matemáticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema en lógica formal, y como tal es fácil malinterpretarlo. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares a este primer teorema de incompletitud de Gödel, pero que en realidad no son ciertas. Éstas se comentan en Malentendidos en torno a los teoremas de Gödel.

El segundo teorema de la incompletitud de Gödel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo. Kurt Gödel

Este resultado fue devastador para la aproximación filosófica a las matemáticas conocida como el programa de formalización Hilbert.David Hilbert propuso que la consistencia de los sistemas más complejos, tales como el análisis real, se podía probar en términos de sistemas más sencillos. Finalmente, la consistencia de todas las matemáticas se podría reducir a la aritmética básica. El segundo teorema de la incompletud de Gödel demuestra que la aritmética básica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada más fuerte.

Lema

Lema: Lema: una afirmación que forma parte de un teorema más largo. Por supuesto, la distinción entre teoremas y lemas es arbitraria. Ellema de Gauss y el lema de Zorn, por ejemplo, son considerados demasiado importantes per se para algunos autores, por lo cual consideran que la denominación lema no es adecuada.

(Tomado de Wikipedia)

Corolario

Corolario: Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema previamente demostrado.

(Tomado de Wikipedia)

Moda

Moda: Se define como el valor de la variable con mayor frecuencia absoluta, o el valor que más se repite. Puede haber más de una moda; para el caso que existan dos modas se tiene una distribución bi-modal; para el caso de más de 2, polimodal.

Mediana - Estadísticas

Mediana: Se define como el valor central de una distribución, una vez que uno ordena los datos de forma decreciente o creciente (da lo mismo). El dato que representa a la mediana divide a la distribución en dos grupos, uno superior y otro inferior.

Para una variable discreta, cuando el número de elementos de la distribución es par, habrán dos datos centrales. La Mediana, en este caso, es le promedio de esos dos datos centrales!

Deducción Coordenadas del Vértice de una Parbola

Coordenadas del Vétice de una Parábola

Construcción Geométrica con Regla y Compás

Ud. tiene un lapiz, una regla y un compás ....

Dado un trazo unitario y otros dos trazos "a" y "b" (Con b mayor que a)

se pide construir:

(a+b) ; (a-b) ; (a)(b) ; (a)/(b) ; Raíz de a .....

Sucesión Aritmética

Sucesión Geométrica

Teorema de Viviani

TEOREMA de VIVIANI:

Demostrar que en todo triángulo equilátero la suma de las distancias desde un punto en el interior (o sobre el triángulo) a los lados del triángulo es una constante que no depende del punto elegido.

Y tal como ha quedado demostrado, la constante coincide con la altura del triángulo equilátero ....

Experimento Aleatorio del lanzamiento de 2 dados

Lanzamiento de 2 dados (o de un dado 2 veces)

(Tomado de Gacetilla Matemática)

Permutación Circular

Permutación Circular:

Nace de la pregunta:

¿De cuantas formas (maneras) puedo ordenar a "n" personas (objetos) en un círculo?

En general, "n" objetos pueden distribuirse en un círculo de (n-1)! maneras.

Medida del Ángulo Exterior a una Circunferencia, demostración.

Regla de Sarrus.

Regla de Sarrus:

Nos permite calcular un determinante. Nos sirve por ejemplo, como regla nemotécnica cuando queremos calcular un determinante de una matriz de 3 x 3.

Consideremos por ejemplo la matriz de 3 x 3:

Lo que se hace es repetir primeramente las dos primeras columnas de la izquierda, al final de la matriz. tal como se muestra en la figura:

Luego se suman los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y se restas los productos descendentes (en línea a trazos). El valor del determinante es:

Determinante = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a31a22a13 - a32a23a11 - a33a21a12

Determinante de 3 x 3 (Cálculo o Desarrollo)

Ortogonalidad

Ortogonalidad: Se dice que dos vectores en un espacio euclideano son ortogonales, si el coseno del ángulo que forman vale cero.

Lo mismo es decir: Ortogonalidad que formar un ángulo de 90º. El Coseno de 90º = 0

Nemotecnia Razones Trigonométricas

Signo Funciones Trigonométricas por Cuadrante usando Circulo Goniométrico

Al-Khuarizmi

Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (813-846) es uno de los principales matemáticos árabes que en el 820 fue invitado a la corte del califa Al-Mamum para ser primero, astrónomo y más tarde jefe de la Biblioteca de la “Casa de la sabiduría” en Bagdad.

De la deformación de su nombre en las traducciones, ya que nos lo podemos enocontrar escrito como Al-Jwarizmi surge más tarde el término “algoritmo“.

Este importante matemático, conocido como el “padre del álgebra” fue por tanto bibliotecario y contribuyó además a la historia de las Enciclopedias al redactar “Mafatih al-Ulum” (o “la llave para las ciencias”) que constituye una auténtica obra enciclopédica que sintetiza las ideas científicas griegas e islámicas.

Fuente: La historia de las Enciclopedias / Biblioteca Nacional de España

Destaca como matemático por:

- Su interés primordial en explicar bien las cosas y de forma clara.
- Escribir varios libros de astronomía, uno de álgebra y otro de aritmética que fueron traducidos al latín en el siglo IX.
- Sintetizar conocimientos de los griegos y de la India en distintos saberes: Matemáticas, astronomía, astrología, geografía e historia que denotan su carácter enciclopédico.

Para finalizar incluimos una cita de Mohammad Kahn que resume el buen hacer de este matemático:

“En el primer lugar del ranking de los matemáticos de todos los tiempos está al-Khwarizmi. Él escribió los trabajos más antiguos sobre aritmética y álgebra. Estos fueron la fuente principal de conocimiento matemático durante siglos tanto en oriente como en occidente. El trabajo sobre aritmética introdujo los números indios en Europa, al igual que la palabra algoritmo; y el trabajo sobre álgebra… dio su nombre a esta importante rama de las matemáticas en el mundo europeo… “.

Fuente:http://ciencia.astroseti.org

Función de una Variable

Función de UNA Variable:

Se dice que una variable "y" es función de otra "x", cuando ambas están relacionadas de forma que para cada valor de "x" perteneciente a su campo de varaiación le corresponde UN valor de "y". La variable "y", cuyo valor depende del que tome "x", recibe el nombre de variable dependiente, mientras que "x" es una variable independiente. La relación que liga a la función con la variable puede ser una tabla de valores en correspondencia (por ej., un tabla de logaritmos), una gráfica o una ecuación.

Inecuaciones

Inecuaciones:

Desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por los signos: mayor, menor, mayor o igual o menor o igual. La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica, donde la solución se expresa mediante una representación gráfica y/o mediante un intervalo.

Muestreo

Muestreo:

Forma de seleccionar a un individuo para conformar una muestra de una población. Existen algunas técnicas de muestreo: a) Muestreo Aleatorio; b) Muestreo Estratificado; c) Muestreo Sistemático.

Fracción Algebraica - Simplificación de Fracción Algebraica

Fracción Algebraica:


Se llamma fracción algebraica a toda expresión de la forma:

Donde P8x) y Q(x) son polinomios.


La variable "x" puede tomar cualquier valor Real (IR), siempre y cuando no anule el denominador.


Simplificar una Fracción Algebraica:
-

Para ello se debe considerar lo siguiente:

a) Si el numerador y el denominador son monomios, se cancelan los factores comunes.
b) Si el numerador y/o denominador no son monomios, se factoriza el numerador y el denominador y se cancelan los factores comunes.
-
(Tomado de Faccímiles del PreU. P. de Valdivia)

Tríos Pitagóricos

Media Aritmética - Media Geométrica - Media Cuadrática

Comparación entre Media Cuadrática y Media Aritmética y Media Geométrica

La media Cuadrática es mayor o igual a la media Aritmética y ésta es a su vez mayor o igual a la media Geométrica:

Problemas deTrabajos

Problemas de Trabajos:

Si un trabajador o máquina puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo t que demoran ambos en realizar conjuntamente el mismo trabajo es:

(Fuente: PreU. P. de Valdivia)

Problema de Edades

En este tipo de problemas es bueno hacer tablas o líneas de tiempo en que se reflejen las edades en los distintos períodos que aparecen.

Axiomas de Peano

Axiomas de Peano:

1. El cero es un número.
2. Si n es un número, el sucesor de n también lo es.
3. A números distintos corresponden distintos sucesores.
4. El cero no es sucesor de ningún número.
5. El principio de Inducción: Si una propiedad inductiva se cumple para el cero, entonces se cumple para todos los números.

Consideraciones:

a) Peano Giuseppe, en 1989 da a conocer los anteriores axiomas. A partir de ellos es suficiente con el cero para generar los números naturales a partir de la noción de "sucesor".
b) Se dice que una propiedad es inductiva si cada vez que se cumple para un número, se cumple también para su sucesor.
c) El sistema de Peano contiene tres ideas primitivas: Cero, Número y Sucesor; y cinco axiomas o postulados básicos.
d) Con este sobrio material es posible (re)construir la aritmética y ofrecer un fecundo panorama de números definidos uno por uno: a partir del cero. Con la idea de sucesor se genera la sucesión:

0, 1, 2, 3, 4, 5 ....

Número Trascendente

Número TRASCENDENTE (Extracto de Wikipedia):

Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable, de lo que se deduce que hay muchos más números trascendentes que algebraicos.

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (Γ) lo es.

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville.

El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873.

En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente.

En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos.

Es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Teorema de Bernoulli

Teorema de Bernoulli: Se le conoce también como "primera ley de los grandes números" o "ley empírica del azar". Se enuncia: "Si efectuamos un número grande de ensayos de cierto experimento, es poco probable que la frecuencia relativa de un acontecimiento se separe mucho de su probabilidad". Esta ley puede ayudar a predecir ciertos acontecimientos.

Unidad

Unidad: En un número de dos cifras, corresponde al dígito que se ubica en primer lugar, de derecha a izquierda, y representa la cantidad de objetos que no fue posible agrupar de a 10. Por ejemplo, si se cuentan 25 automóviles, el número 5 representa 5 unidades.

Cercha

Cercha: Aparato que permite dibujar curvas como parábolas, elipses, hipérbolas, etc. Su uso es común en los dibujantes de planos.

Deltoide

Deltoide: Cuadrilátero que tiene dos poares de lados iguales, pero no los opuestos. Se forma al unir dos triángulo isósceles por sus bases que son iguales. Sus diagonales son perpendiculares y sólo una queda dimidiada por la otra.

Número Perfecto

Número Perfecto: Número que es igual a la suma de sus divisores excluído el mismo; el menor de tales números es el 6, que es igual a la suma de sus 3 dividores: 1,2,3. El siguiente es en 28, suma de 1,2,4,7 y 14.

Fracción Continua

Fracción Continua: una fracción continua es una expresión de la forma:

donde ao es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.

Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple.

Notación:

[1;2,3,4,5] =

Muestras Aleatorias

Muestras Aleatorias:

Para asegurarse que las inferencias que se hagan a partir de las muestras de una población sean válidas, las muestras deben ser escogidas de acuerdo a criterios que las hagan representativas de dicha población.

Un criterio para lograrlo es el de elección aleatoria de muestras, que significa que cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.

Tal propósito se puede lograr asignándole un número a cada miembro de la población y hacer un sorteo eligiendo papeletas con los mismos números asignados; alternativamente se puede hacer usando tablas de números aleatorios especialmente construidas para ese fin.

Método Solución Ecuación Cuadrática por Cambio de Variable

Extracción de Raíz Cuadrada

Extracción de Raíz Cuadrada:

1) Se divide en porciones de dos cifras, desde la derecha.

2) Se extrae raíz cuadrada de la primera porción de la izquierda (por defecto).

Raíz cuadrada de 45 es 6 y sobran 9.

3) A la derecha de esta resta se escribe la porción siguiente, 96, y se forma el número 996. Se separa la cifra de la derecha por una coma colocada arriba (99'6).

4) El número de la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz encontrada.

99:12 =7.

5) Se escribe esta cifra 7 a la derecha de la raiz y también a la derecha del divisior.

6) Se multiplica 7 por 127 y el producto se resta de 996; la resta es 107.

7) A la derecha de esta resta 107 se escribe la porción siguiente, 84, y se forma 10 784.

8) Se separa la última cifra (4) por una coma (1078'4) y el número 1 078 se divide por el doble de la raíz encontrada, por 134.

1 078: 134 = 8

9) Se escribe 8 a la derecha de la raíz y también a la derecha del divisor.

10) Se multiplica 8 por 1 348 y el producto se resta de 10 784; la resta es cero.

PARA UN NUMERO DECIMAL :

Si el número es decimal, la separación en grupos de a dos cifras se principa desde la coma a uno y otro sentido, completando con cero, si el número de cifras decimales es impar. Se debe colocar la coma en la raíz al terminar la operación con la última porción entera.

Para calcular cifras decimales, se agrega a la resta dos ceros por cada cifra decimal que se calcule.

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(Tomado de: "Curso de Matemáticas Elementales - ALGEBRA" Francisco Prôschle)

Método Deductivo

Método Deductivo: Usado principalmente en el razonamiento científico y es por ello es que es central en matemáticas y en geometría. Consiste en encadenar conocimientos que se suponen ciertos para obtener nuevos conocimientos, o sea, para obtener nuevas proposiciones iniciales.

Círculo

Círculo: Superficie plana limitada por la circunferencia.

Velocidad Media

VELOCIDAD MEDIA:

Supongamos que un ser humano conduce un coche por espacio de un kilómetro a 60 km por hora y otro kilómetro a 120 Km por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio?

Tendemos a responder esta pregunta ampliando al procedimiento común para calcular promedios.Cuando alguien compra un par de zapatos en $ 5 y otro en $ 10, el precio promedio es de $5 + $10 entre 2, o sea, S7.50.

Así las cosas, lo primero que se nos ocurre es que promedio del problema planteado sería 60 + 120 divididos entre 2, o sea, 90 Km por hora.Pero ésta no es la solución correcta. El número 90 es un buen promedio en sentido aritmético, pero no es el promedio que buscamos.

La velocidad promedio o velocidad media debe ser aquella que permitiría al chofer recorrer dos kilómetros en el mismo tiempo que le tomó cubrir esa distancia a dos velocidades diferentes.Nuestro hombre empleó 1 minuto en recorrer el primer kilómetro, 1/2 minuto en recorrer el segundo. Empleó, pues, 1 ½ minutos en manejar 2 kilómetros.

Nos preguntamos ahora qué velocidad promedio sería necesaria para recorrer 2 kilómetros en 1 1/2 minutos. Como la velocidad media multiplicada por el tiempo total debe dar la distancia total, la velocidad media será la distancia total dividida entre el tiempo total:

Velocidad Media = 2/(3/2)= 4/3

La Velocidad Media es entonces 4/3 km por minuto u 80 Km por hora.

Diferencia entre Axiomas y Postulados (Suposiciones o Supuestos)

Los griegos basaron sus construcciones matemáticas sobre verdades evidentes que llamaron axiomas. Incluso Sócrates y Platón creían que estas verdades iniciales ya estaban en nuestras mentes al nacer y que sólo debíamos recordarlas.

Hoy se considera que los axiomas son indicados por la experiencia y la observación. Y si bien es cierto que el sustrato axiomático se construye con aquellas verdades más claras y dignas, no se debe olvidar que algunos axiomas NO sean verdades absolutas.

Para destacar el anterior punto hay matemáticos que prefieren emplear los términos de Postulado, Suposición o Supuesto, en lugar de usar el término axioma.

Fracciones en Notación Posicional

Expresemos la fracción 1/4 en Notación Posicional:

Ecuaciones Fraccionarias

Ecuaciones Fraccionarias:

La ecuación fraccionaria es aquella cuando algunos de sus términos o todos tienen denominadores.

Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen.

Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis.

Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad.

Colocar los términos en "x" en un miembro y los numéricos en otro.

Resolver la ecuación equivalente de rimer grado obtenida.

Comprobar el resultado con la ecuación dada.

(Tomado del Preu-Pedro de Valdivia)

Ecuaciones - Conceptos Varios

Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementos desconocidos llamados incógnitas.

Raíz o Solución: de una ecuación es (son) el (los) valor(es) de la(s) incógnita(s) que satisface(n) la igualdad.

Conjunto Solución: es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de la ecuación.

Resolver una Ecuación: es encontrar valores que reemplazados en la ecuación en lugar de la incógnita, hace que la igualdad sea verdadera. Para ello se debe despejar o aislar la incógnita.

Ecuaciones Equivalentes: son aquellas que tienen el mismo conjunto de solución.

Problemas de Dígitos

Problemas de Dígitos:

Un número A está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de 10 correspondiente a su posición ( ... centena, decena, unidad,décima, centésima, ...)

Ángulos Suplementarios

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Si dos ángulos suman 180º entonces cada uno es el suplemento del otro. El suplemento de un ángulo x es 180 - x.

Ángulos Complementarios

Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90º. Si ambos suman 90º entonces cada uno es el complemento del otro. El complemento de un ángulo x es 90- x.

Tipos de Ángulos

Tipos de Ángulos:

Ángulo Nulo: Es el que mide 0º.

Ángulo Agudo: Es el que mide más de 0º y menos de 90º.

Ángulo Recto: Es el que mide 90º.

Ángulo Obtuso: Es el que mide másde 90º y menos de 180º.

Ángulo Extendido: Es el que mide 180º.

Ángulo Completo: Es el que mide 360º.

Análisis Soluciones Ecuación de Primer Grado

Análsis Soluciones Ecuación Primer Grado:

El número de soluciones de la ecuación: ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se pueden dar tres casos:

Caso 1: Si a es distinto de cero, la ecuación tiene solución única.

Caso 2: Si a es igual a cero y b es igual a cero, la ecuación tiene infinitas soluciones.

Caso 3: Si a es igual a cero y b es distinto de cero, la ecuación NO tiene solución.

Desarrollo algebraico para mostrar que la Función Exponencial y la Logarítmica son FUNCIONES INVERSAS

Desarrollo algebraico para mostrar como la Función Exponencial y la Función Logarítmica (en una misma base) son FUNCIONES INVERSAS:


Y si miramos esto en una gráfica (en Graphmática), vemos que ambas funciones son simétricas respecto de la recta y = x, tal y como debe ser:



Ahora procedamos, algebraicamente, a encontrar la inversa de la exponencial ....

Luego podemos concluir:

Veamos ahora las gráficas (en Graphmática), para dos casos concretos, con igual base:


Función Exponencial: y = 2 elevado a x
Función Logarítmica: y = log en base 2 de x
(Obviamente son simétricas respecto de la recta y = x)

Raíz Enésima

Raíz Enésima: La raíz enésima de un número M es el número necesario que debo multiplicar por si mismo n veces para obtener el número M.

Arco

Arco: Sección o parte de una circunferencia.

Número Mixto

Fracción Impropia - Fracción Común Impropia

Fracción Propia - Fracción Común Propia

Serie de Razones

Es la igualdad de dos o más razones.

Lenguaje Algebraico II

Números Compuestos

Números Compuestos:

Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos.

Teorema Fundamental en tornos a los Números Compuestos:

Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos.

Números Primos

Números Primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primero números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ....

Estrategias para resolver problemas

1) Leer totaly cuidadosamente el problema.

2) hacer un listado de datos y cantidades desconocidas.

3) Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.

4) Plantear y resolver las operaciones aritméticas involucradas en el problema.

5) Releer la pregunta del problema.

Permutaciones con repetición

Recordemos primero las Permutaciones ....

Pensemos que queremos permutar las letras en la palabra AMOR.

Existen 4! formas de hacerlo.

Podemos pensar que si tuviésemos que ubicar cada una de estas cuatro letras en un set de 4 casillas, en la primer casilla podemos poner 4 letras (están todas para elegir), en la segunda casilla, sólo 3 de las letras (porque una fue elegida) y así, en la que viene 2 letras y una última en la cuarta casilla. Es decir, tenemos: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 posibilidades = 4 !

Veamos esas 24 posbilidades:

OMAR AMOR MAOR MOAR AOMR OAMR RAOM ROAM
MROA MRAO MORA MARO ORMA ARMO AROM ORAM
RMOA RMAO ROMA RAMO OMRA AMRO AORM OARM

Pero que pasa si tuviésemos que permutar las letras de la palabra AMAR .... Aquí es donde aparacen las:

PERMUTACIONES con REPETICIÓN:

Si sustituimos "O" por "A", en la matrzi anterior tendremos varias repeticiones, veamos:

AMAR AMAR MAAR MAAR AAMR AAMR RAAM RAAM
MRAA MRAA MARA MARA ARMA ARMA ARAM ARAM
RMAA RMAA RAMA RAMA AMRA AMRA AARM AARM

Destacamos en azul, las palabras que se repiten .... Y si las tachamos, tendremos solamente la mitad:

AMAR MAAR AAMR RAAM

MRAA MARA ARMA ARAM

RMAA RAMA AMRA AARM

Son 12, la mitad de las palabras que se tenían en la permutación de las letras en AMOR ....

Hay (4! / 2! = 12) permutaciones distinguibles que se pueden lograr con la palabra "AMAR".

Generalizando:

PERMUTACIONES CON REPETICION:

El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2 de una segunda clase, ...., nk de una k-ésima clase y los demás objetos de calse 1, se calcula por:

Funciones Trascendentes

Funciones Algebraicas

Teoremas Básicos - Valor Absoluto

El valor absoluto nos ayuda a establecer las propiedades fundamentales de los números Reales en los siguientes teoremas:

Determinante de Segundo Orden

Determinante de Segundo Orden:

Un determinante de segundo orden se representa por un arreglo de números dispuestos en dos filas y dos columnas, como sigue:

Donde los elementos a y d se dice forman la diagonal principal. El valor del determinante es igual a producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la otra diagonal, es decir:

Cartesiano

Cartesiano: Nombre que se aplica al sistema de referencia coordenado rectangular. Proviene de Cartesius, nombre latinizado de Descartes.

Operatoria en IR (Reales)

1) El resultado de una operación entre racionales es SIEMPRE otro número racional, excluyendo la división por cero.

2) La operación entre números irracionales NO SIEMPRE es un número irracional.

3) Por otra parte, la operación entre un número racional (Q) y un irracional (Q') da como resultado un irracional, EXCEPTUANDOSE la multiplicación y la división por cero.

OSERVACION:

NO son números reales las expresiones de la forma:

Funciones Inversas

Ejes de Simetría (Texto de Álvaro Sánchez Vásquez)

Ejes de simetría:

Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje

ésta se mantiene “invariante”, es decir, no cambia,

diremos que ése es un eje de simetría de la figura.

El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas diagonales son ejes de simetría del cuadrado.

También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes determinados por los puntos medios de lados opuestos:

Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado. El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría

En el caso de los triángulos, tenemos:

En el caso de los cuadriláteros, tenemos:

Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje

de simetría del círculo.