Desarrollo algebraico para mostrar que la Función Exponencial y la Logarítmica son FUNCIONES INVERSAS

Desarrollo algebraico para mostrar como la Función Exponencial y la Función Logarítmica (en una misma base) son FUNCIONES INVERSAS:


Y si miramos esto en una gráfica (en Graphmática), vemos que ambas funciones son simétricas respecto de la recta y = x, tal y como debe ser:



Ahora procedamos, algebraicamente, a encontrar la inversa de la exponencial ....

Luego podemos concluir:

Veamos ahora las gráficas (en Graphmática), para dos casos concretos, con igual base:


Función Exponencial: y = 2 elevado a x
Función Logarítmica: y = log en base 2 de x
(Obviamente son simétricas respecto de la recta y = x)

Raíz Enésima

Raíz Enésima: La raíz enésima de un número M es el número necesario que debo multiplicar por si mismo n veces para obtener el número M.

Arco

Arco: Sección o parte de una circunferencia.

Número Mixto

Fracción Impropia - Fracción Común Impropia

Fracción Propia - Fracción Común Propia

Serie de Razones

Es la igualdad de dos o más razones.

Lenguaje Algebraico II

Números Compuestos

Números Compuestos:

Son todos los enteros positivos mayores que uno que no son primos.

Teorema Fundamental en tornos a los Números Compuestos:

Todo número compuesto se puede expresar de manera única como el producto de factores de números primos.

Números Primos

Números Primos: Son aquellos enteros positivos que tienen sólo dos divisores distintos. Los primero números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ....

Estrategias para resolver problemas

1) Leer totaly cuidadosamente el problema.

2) hacer un listado de datos y cantidades desconocidas.

3) Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere.

4) Plantear y resolver las operaciones aritméticas involucradas en el problema.

5) Releer la pregunta del problema.

Permutaciones con repetición

Recordemos primero las Permutaciones ....

Pensemos que queremos permutar las letras en la palabra AMOR.

Existen 4! formas de hacerlo.

Podemos pensar que si tuviésemos que ubicar cada una de estas cuatro letras en un set de 4 casillas, en la primer casilla podemos poner 4 letras (están todas para elegir), en la segunda casilla, sólo 3 de las letras (porque una fue elegida) y así, en la que viene 2 letras y una última en la cuarta casilla. Es decir, tenemos: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 posibilidades = 4 !

Veamos esas 24 posbilidades:

OMAR AMOR MAOR MOAR AOMR OAMR RAOM ROAM
MROA MRAO MORA MARO ORMA ARMO AROM ORAM
RMOA RMAO ROMA RAMO OMRA AMRO AORM OARM

Pero que pasa si tuviésemos que permutar las letras de la palabra AMAR .... Aquí es donde aparacen las:

PERMUTACIONES con REPETICIÓN:

Si sustituimos "O" por "A", en la matrzi anterior tendremos varias repeticiones, veamos:

AMAR AMAR MAAR MAAR AAMR AAMR RAAM RAAM
MRAA MRAA MARA MARA ARMA ARMA ARAM ARAM
RMAA RMAA RAMA RAMA AMRA AMRA AARM AARM

Destacamos en azul, las palabras que se repiten .... Y si las tachamos, tendremos solamente la mitad:

AMAR MAAR AAMR RAAM

MRAA MARA ARMA ARAM

RMAA RAMA AMRA AARM

Son 12, la mitad de las palabras que se tenían en la permutación de las letras en AMOR ....

Hay (4! / 2! = 12) permutaciones distinguibles que se pueden lograr con la palabra "AMAR".

Generalizando:

PERMUTACIONES CON REPETICION:

El número de permutaciones distintas de n objetos de los cuales n1 son de una clase, n2 de una segunda clase, ...., nk de una k-ésima clase y los demás objetos de calse 1, se calcula por:

Funciones Trascendentes

Funciones Algebraicas

Teoremas Básicos - Valor Absoluto

El valor absoluto nos ayuda a establecer las propiedades fundamentales de los números Reales en los siguientes teoremas:

Determinante de Segundo Orden

Determinante de Segundo Orden:

Un determinante de segundo orden se representa por un arreglo de números dispuestos en dos filas y dos columnas, como sigue:

Donde los elementos a y d se dice forman la diagonal principal. El valor del determinante es igual a producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la otra diagonal, es decir:

Cartesiano

Cartesiano: Nombre que se aplica al sistema de referencia coordenado rectangular. Proviene de Cartesius, nombre latinizado de Descartes.