Solución Ecuación de Cuarto Grado

Solución Ecuación de Cuarto Grado:

Poliedro de Császar (Tomado de Gaussianos)

¿Qué es el poliedro de Császár?

El poliedro de Császár es un poliedro no convexo que no tiene diagonales (comparte esta propiedad con el tetraedro), es decir, cada uno de sus vértices está conectado con todos los demás por una arista. Podemos verlo en la siguiente imagen (tomada deMathWorld):

En este enlace de la Wikipedia podéis ver una animación de este poliedro junto con la figura que queda al desplegarlo.

El poliedro de Császár tiene 7 vértices, 21 aristas y 14 caras triangulares. Por ello no cumple la fórmula de Euler:

Es topológicamente equivalente a un toro (esto es, una rosquilla) y su esqueleto es isomorfo al grafo completo .

Este poliedro fue descubierto por el topólogo húngaro Ákos Császár en 1949 y sirvió para resolver el siguiente problema:

Un toroide es un poliedro cuyas caras son todas polígonos simples (es decir, si fueran de plastilina podríamos deformarlas sin romperlas hasta obtener un disco) que además cumple que el propio poliedro es topológicamente equivalente a una esfera con uno o más agujeros que la atraviesan. ¿Es posible construir un toroide que no posea diagonales?

¿Cómo construir el poliedro de császár?

A la vista de la imagen anterior, el poliedro de Császár tiene una forma muy peculiar, extraña, hasta difícil de imaginar. Lo curioso es que es sencillo construirlo con papel a partir de estas dos plantillas:

Los pasos que debemos seguir para contruir el poliedro, según el gran Martin Gardner, con los siguientes:

Recortamos las plantillas y coloreamos por los dos lados los triángulos sombreados. Después doblamos por las líneas de puntos para formar aristas “montañas” y por las líneas llenas para formar aristas “valle”.

Para formar la base plegamos los dos triángulos más grandes hacia el centro y sujetamos con cinta adhesiva los vértices A uno junto al otro. Le damos la vuelta al papel y plegamos los triángulos más pequeños hacia el centro sujetando después con cinta las aristas B. Ya tenemos la base.

La punta cónica de seis caras se forma pegando entre sí los lados C. Para colocarla sobre la base se unen los triángulos blancos con los triángulos sombreados y después se pegan cada uno de sus seis lados a los seis correspondientes de la base.

Hemos comentado antes que este poliedro no tiene diagonales y que el poliedro de Császár y el tetraedro son los únicos poliedros conocidos (con superficie acotada) que no tienen diagonales. Es sencillo comprobar que si un poliedro tiene  vértices y agujeros, el hecho de que no posea diagonales obliga a que se cumpla la siguiente relación:

Teniendo en cuenta que los dos tienes que ser números enteros positivos y que además debe ser mayor que 3 (no hay poliedro con 3 o menos vértices), la solución con valores más pequeños es , que corresponde al tetraedro. Y la siguiente es , que es la que corresponde al poliedro de Császar. La siguiente solución posible es , que nos daría un poliedro con 44 caras y 66 lados, pero dicho poliedro no puede construirse. No se conoce ninguna solución más a partir de la cual se obtenga un poliedro que se pueda construir.

Por Defecto

Aproximación Por Defecto: Es una aproximación que es menor que el valor real.

Serie Alternada

Serie Alternada: Serie de números reales cuyo término general provoca términos particulares que alternan entre positivo y negativo.

Cono de Apolonio - Imagen

Cono de Apolonio:

GPS

GPS: (Sistema de Posicionamiento Global), permite determinar con alta precisión la posición tridimensional (altitud, Longitud y altitud) de un punto en nuestro planeta.

El GPS funciona con 24 satçelites distribuidos en 6 órbitas con un período de 12 horas, con una amplitud aproximada de 20.200 Km y una inclinación de 55º respecto del plano ecuatorial.

Novedad del Colectivo Bourbaki (Un sueño Euclideano)

El punto de partida del colectivo Bourbaki fue la teoría de conjuntos. La idea era derivar TODO el universo matemático desde un único punto inicial: la teoría de Conjuntos, como anteriormente, en la antiguedad, Euclides había derivado todo el andamiaje geométrico de nociones básicas o primitivas.

El propósito del colectivo era poner en relieve la unidad de las matemáticas. El propósito era escribir libros, definir elementos matemáticos siguiendo  métodos axiomáticos que nunca se apartasen del objetivo de la formalización absoluta. El tratado de las matemáticas debía ser lo más riguroso posible.

Para lo anterior utilizó dos métodos muy eficaces: Uno era la axiomatización y el otro la inclusión de la noción general de estructura. La axiomatización fue tomada directamente de Euclides -mejorada más tarde por Hilbert- y la noción de estructura en gran parte creada por el colectivo Bourbaki y en parte tomada de los avances linguísticos de la época.


En el futuro, la decisión de arrancar el edificio axiomático Bourbakiano desde la Teoría de Conjuntos, preñada de profundas paradojas e incoherencias, repercutió en la continuidad del sueño del colectivo Bourbaki.

Bourbaki Nicolás

Bourbaki Nicolás: Grupo de matemáticos franceses que para los entornos de 1930 provocó una completa revolución en las matemáticas del orbe entero, cuestión que incluso repercutió en muchas otras ciencias, incluso en las ciencias sociales. El nombre de Nicolás Bourbaki, que asociaron al matemático autor de muchas publicaciones, no corresponde a un matemático de existencia real, proviene de bromas estudiantiles hechas en la escuela normal de Francia, en la que los estudiantes asustaban a los novatos con Teoremas inexistentes de un tal Bourbaki, que en la historia real correspondió a un militar de relativa fama.

El colectivo Boubaki fundó su creación en el punto de partida elemental: la teoría de conjuntos desde donde derivaron un universo matemático de gran amplitud en donde las perspectivas de rigurosidad axiomática y la estructura matemática fueron muy relevantes.

El grupo Bourbaki revolucionó el quehacer matemático en la Francia de la posguerra.

de Wikipedia:

Nicolas Bourbaki es el nombre colectivo de un grupo de matemáticos franceses que en los años 30 del siglo XX se propusieron revisar los fundamentos de las matemáticas con una exigencia de rigor mucho mayor que la que entonces era moneda corriente en esta ciencia. Fundado en 1935, inició la publicación de sus monumentales Elementos de matemáticas de acuerdo con el nuevo canon de rigor y el método axiomático, pretendiendo cubrir las bases de todas las matemáticas. Hasta el presente (2006) ha redactado los volúmenes de «Teoría de conjuntos», «Álgebra», «Topología general», «Funciones de una variable real», «Espacios vectoriales topológicos», «Integración», «Álgebra conmutativa», «Variedades diferenciables y analíticas», «Grupos yálgebras de Lie» y «Teorías espectrales». Estos volúmenes contienen notas históricas que han sido publicadas aparte, formando unos apreciados, aunque muy incompletos aún (2006) volúmenes cuyo corpus recibe el nombre de Elementos de Historia de las Matemáticas.

Su impacto en las matemáticas contemporáneas ha sido enorme, y desde los años 50 puede decirse que su exigencia de rigor ha sido universalmente aceptada en matemáticas, junto con el estilo particular en que la expresan, siendo muy diferentes los textos actuales de los prebourbakianos. Este éxito ha vuelto innecesaria la continuación de su obra, pues desde los años 60todos los textos se redactan ya siguiendo sus exigencias. No obstante, en París sigue desarrollándose el Seminario Bourbaki, donde cada año se exponen los principales avances de las matemáticas.

La "tragedia" de este titánico intento de fundamentar todas las matemáticas es que eligieron como punto de partida la teoría de conjuntos y, cuando en los años 1950 y 1960 apareció la teoría de categorías como supuesto principio unificador de todas las matemáticas conocidas, decidieron con pleno conocimiento de causa no seguir ese camino («ese infierno» en sus propias palabras) renunciando así a su propósito inicial.

Desde el principio trataron de mantener la simpática ficción de que Nicolas Bourbaki era un matemático «poldavo». Por eso el nombre de sus miembros, que cambian a lo largo del tiempo, es uno de los secretos mejor guardados (al igual que su forma de organizarse), aunque se sabe que en su mayoría son franceses. En su página web ya reconocen que fue fundado inicialmente por Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt y André Weil. Eran antiguos alumnos de la Escuela Normal Superior de París que, a iniciativa de Cartan y Weil y bajo el grito de guerra "todos deben interesarse en todo", se propusieron redactar textos nuevos para sus clases. Parece seguro que los mejores matemáticos franceses de mediados del siglo XX (Jean-Pierre Serre, Alexandre Grothendieck, Laurent Schwartz,Pierre Samuel, Jean-Louis Koszul, Armand Borel, Pierre Cartier, Roger Godement, ...) en algún momento han formado parte, al igual que alguno de otra nacionalidad (Samuel Eilenberg, John Tate, ...).

Página Oficial del Grupo Bourbaki: Grupo Bourbaki - Página Oficial

Lemniscata

Lemniscata:

de wikipedia: 

En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguienteecuación en coordenadas cartesianas:

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Su representación en Unicode es ∞ y su código es (∞).

La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es unaconstante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamólemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".

La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos).

Demostración SIN PALABRAS - Área de Círculo

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Secciones Cónicas - Imagen

Secciones Cónicas - Imagen:

Tomado de: http://secciones-conicas.wikispaces.com/