Razón entre la diagonal del un pentágono y su lado = razón áurea

En el ejercicio, arbitrariamente se da el valor de 1 al trazo CD.

Veamos este plan en palabras:

1) Dibujamos un pentágono de lado "l" y diagonal "d".

2) Sabemos que un pentágono se puede descomponer en 3 triángulos,
por tanto la suma de sus ángulos interiores es 3 x 180 = 540.

3) Si el total 540, lo dividimos por 5, cada ángulo interior será de 540:5=108 grados.

4) Si trazamos una diagonal, el triángulo que queda formado por dos lados y la diagonal es isósceles, el ángulo mayor es de 108 y los dos basales de 36º.

5) Si desde el vértice superior, trazamos la otra diagonal, se produce un triángulo congruente al anterior y en el centro, un triángulo también isósceles (formado por 2 diagonales, el triángulo celeste). El ángulo superior es de: 108 -36 -36 = 36º.

6) Luego los dos ángulos basales son de: (180º-36º)/2 = 72º.

7) Procedemos a bisectar el ángulo basal izquierdo, con el trazo BD.

8) Eso genera dos ángulos de 72º/2 = 36º.

9) En el triángulo verde (BDC), hay un ángulo de 36º (el generado por la bisectriz), un ángulo de 72º, del triángulo celeste antes analizado. No queda otra que el tercer ángulo sea de 72º, por lo que nuevamente tenemos un triángulo isósceles (BDC) con base DC y dos lados iguales BD y BC.

10) El triángulo amarillo (BDA) tiene dos ángulos iguales de 36º, por tanto es isósceles y el tercero debe ser de 72º. Como comparte eñ daod común BD con el triángulo verde (BDC), hay tres lados iguales en el dibujo: BC, BD y DA. Son los tres congruentes!

11) En este esquema hay dos triángulos semejantes (por AA):
El triángulo mayor ABC (cos ángulos 36, 72 y 72) y el trángulo verde BCD (con iguales ángulos 36, 72, 72).

12) Esto nos permite estabelcer proporciones entre sus lados homólogos, pero antes, vamos a tomar la libertad de señalar que el trazo DC mide la unidad, en cualquier unidad de medida. esto facilitará nuestros cálculos .... veamos esa proporción anunciada:

13) Lado menor triángulo BDC/lado mayor Triángulo BDC=lado menor Triángulo ABC=lado mayor triángulo ABC
1 / l = l / d
se lee: (uno es a ele como ele es a d)

l = lado del pentágono.
d = diagonal del pentágono.

14) de aquí podemos tomar la razón que buscamos (d/l): d/l = l
Queremos demostrar que la razón entre la diagonal y el lado es equivalente a la razón áurea, es decir:

Nota: Esta proporción está bien establecida, porque como d es mayor que l, entonces el cuociente es mayor que uno y eso es la proporción áurea, Phi es 1,618....

15) De la proporción 1/l = l/d, sacamos que d es igual a ele al cuadrado .... Pero además sabemos que d = 1 + l .... tenemos:

Si resolvemos la anterior ecuación, para l, tendremos que l es jutamente la proporción áurea, veamos esa resolución:

Pero de las dos posibles raíces, rechazamos la asociada al signo menos porque sería negativa (haga los cálculos) ....

Luego: como d/l = l, entonces queda demostrado que:

Función Continua

Función Contínua: Una función f(x) es continua en x = x₀ si y sólo si:

1º) Existe lim f(x) = L cuando x tiende a x₀.

2º) Existe f(x₀) tal que f(x₀) = L

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Exponente

Exponente: Número que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Ecuación Trigonométrica

Ecuación Trigonométrica: La ecuación trigonométrica es aquella cuyas incógnitas son el asunto principal de las funciones trigonométricas.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Ecuaciones Cuadráticas Incompletas

Ecuación Incompleta Pura: Ecuación cuadrática de la forma ax² + c = 0.

Ecuación Incompleta Binomia: Ecuación cuadrática de la forma ax² + bx = 0.

Diagonal

Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos de una figura geométrica.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Disjuntos

Disjuntos: Conjuntos cuya intersección es vacía.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Corolario

Corolario: Es una consecuencia inmediata de un teorema.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Conjunto Finito, Conjunto Infinito

Conjunto Finito: Conjunto que tiene un número limitado de elementos.

Conjunto Infinito: Conjunto de un número ilimitado de elementos.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Complejos Iguales

Complejos Iguales: Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias también.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Cero de una Función

Cero de una función: Todo punto para el cual f(x) = 0.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

Axiomas de Kolmogorov

Axiomas de Kolmogorov: Conjunto de axiomas que caracterizan la noción de probabilidad y que constituyen el modelo matemático de los fenómenos aleatorios.

(Tomado de www.sectormatematicas.cl)

Axiomas de Peano

Axiomas de Peano: Axiomas de la aritmética con los que se definen los números naturales.

(Tomado de www.sectormatematica.cl)

5 Sólidos Platónicos - Carecterísticas

Características de los 5 Sólidos Platónicos: (Tomado de Wikipedia)

Regularidad

Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros:

• Todas las caras de un sólido platónico son polígonos regulares iguales.
• En todos los vértices de un sólido platónico concurren el mismo número de caras y de aristas.
• Todas las aristas de un sólido platónico tienen la misma longitud.
• Todos los ángulos diedros que forman las caras de un sólido platónico entre sí son iguales.
• Todos sus vertices son convexos a los del icosaedro.

Simetría

Los sólidos platónicos son fuertemente simétricos:

• Todos ellos gozan de simetría central respecto a un punto del espacio (centro de simetría) que equidista de sus caras, de sus vértices y de sus aristas.
• Todos ellos tienen además simetría axial respecto a una serie de ejes de simetría que pasan por el centro de simetría anterior.
• Todos ellos tienen también simetría especular respecto a una serie de planos de simetría (o planos principales), que los dividen en dos partes iguales.

Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro:

• Una esfera inscrita, tangente a todas sus caras en su centro.
• Una segunda esfera tangente a todas las aristas en su centro.
• Una esfera circunscrita, que pase por todos los vértices del poliedro.

Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.

5 sólidos platónicos y los elementos

Una asociación fantástica, hecha por los antiguos griegos, entre los 5 sólidos platónicos y los cuatro elementos (fuego, aire, agua y tierra), junto con el firmamento celestre representado por el dodecaedro.(El camino a la Realidad, Roger Penrose).

Los sólidos platónicos, también conocidos como cuerpos platónicos, cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, sólidos perfectos, poliedros de Platón o, con más precisión, poliedros regulares convexos; son cuerpos geométricos caracterizados por ser poliedros convexos cuyas caras sonpolígonos regulares iguales y en cuyos vértices se unen el mismo número de caras.

Reciben estos nombres en honor del filósofo griego Platón (ca. 427 adC/428 adC – 347 adC), al que se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.

Esta lista es exhaustiva, ya que es geométricamente imposible construir otro sólido diferente de los anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad. (Wikipedia)