Distribución Normal (II)

Distribución Normal - Campana de Gauss:

Introducción:

1) La distribución de probabilidad continua más importante es la DISTRIBUCION NORMAL.

2) Ejemplos en que se aplica: estatura, peso, diámetro craneal de recién nacidos, controlesde calidad en procesos de fabricación, consumo d agua per cápita, coeficiente intelectual, distribución de errores en una serie de medidas ....

3) Esto muestra que "normalmente" los casos extremos son extraños, tendiendo la maroría a agruparse en torno de la media: los tipos medios aparecen con mayor frecuencia.Función Densidad de la Distribución Normal:La función densidad f(x) de la distribución normal fue planteada por primera vez por Gauss y su expresión analítica, que citamos sólo a título informativo es de tipo exponencial. En concreto, para una variable continua

Para que esta f(x) sea una función de densidad de probabilidad, habría que demostrar que el área entre la curva f(x) y el eje OX vale 1. Laplace fue uno de los que logró demostrarlo.

La representación de la campana de Gauss es:

Las características de la curva normal son las siguientes:

1) El dominio de la definición de la variable normal es toda la recta R.

2) f(x) es simétrica respecto de la media.

3) El Máximo de f(x) se alcanza en la media.

4) La curva tiene asintóticamente al eje OX cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.

5) El área comprendida entre la curva f(x) y el eje OX desde menos infinito hasta k nos da el valor de la probabilidad de que x sea menor o gual a k.
Una curva normal queda completamemte determinada cuando se conocen la media y la desviación típica de la variable X. Esta curva se le conoce como:

Las funciones de densidad de ella constituyen una fanilia de curvas, y la forma de cada una de ellas depende de su media y de su desviación típica. En la Figura se ve la influencia de los parámetros. la desviación típica estrecha o ensancha la curva, la media la desplaza a izquierda o derecha:

MEDIA y DESVIACION TIPICA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL

En una distribución normal, la media y la desviación típica nos permiten establecer las siguientes probabilidades precisas:

1) El 68,26 % de los valores de X están a menos de una desviación típica de la media.
2) El 95,44 están a menos de dos desviaciones típicas.
3) El 99,74 % están a menos de 3 desviaciones típicas.

Veamos gráficamente:

O dicho de otro modo:

LA DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR

¿Pero cómo calcular el área limitada por f(x) hasta el valor k, desde menos infinito?Esto NO se puede calcular por fórmulas simples.Para aliviar esta dificultad, se hicieron ca´lculos MUY precisos en áreas de una campana de Gauss muy particular y cuando se necesita estudiar otra campana, hay formulas des traslado.El caso especial elegido es el de la variable normal tipificada, esto es, la que tiene como distribución normal N(0,1) - es decir - de media 0 y desviación típica 1. Se le conoce como DISTRIBUCION NORMAL TIPIFICADA o ESTÁNDAR.

Se la designa con la letra Z y hay tablas como la que adjunto un poco más abajo,

Para Z, se han calculado las áreas bajo la curva desde menos infinito hasta Z=k, como a continuación:

USO de la Tabla NORMAL

Esta tabla da la probabilidad de menos infinito hasta Z=k.

La simetría de la curva normal y el hecho de que el área limitada por ella y el eje OX desde menos infinito a hasta más infinito es 1, permiten calcular las probabilidades correspondientes a otras situaciones.

Ejemplo:

TIPIFICACION de una VARIABLE:

Las variables normales que se enecuentran en las aplicaciones, no suelen tener media 0 y desviación típica 1.
Lo que se hace es relacionar una muestra normal de media distinta de cero y desviación típica distinta de 1 con una normal (0,1) mediante un cambio de variable:

Y para efectos prácticos esto significaría: Ejemplo: Las estaturas de las chicas europeas de 18 años tiene una distribución N(165,7). Si elegimos una al azar, calcula la probabilidad de que su estatura sea Menor de 172 cm.

Distribución Normal (I) - Introducción

1) Una distribución es continua cuando la variable aleatoria sociada puede tomar como valores TODOS los números reales (R) en algún intervalo de la recta real.

2) En una distribución continua, las probabilidades NO NULAS se asignan a los intervalos, mientras que la probabilidad de un valor concreto, es decir de un punto cualquiera de la recta real, ES CERO.

Piensa por ejemplo: la probabilidad de que yo pese 100,786500983331 kilos es ..... tiene más sentido preguntar la probabilidad de que mida entre 100 y 101 kilos (aunque apliquemos redondeo a 100,8 kilos).

3) Entre las distribuciones continuas la más frecuente es la DISTRIBUCION NORNAL. Por mucho tiempo se pensó que todos los fenómenos aleatorios de caracter natural se ajustaban a una normal. Si bien esto no es 100 % cierto, hay muchos problemas realistas que se rigen por ella.

4) El aspecto de su gráfica, la curva normal, recuerda una campana, por lo que se le suele llamar Campana de Gauss.

5) Distribución de Probabilidad Continua:Una función de Probabilidad es un modelo matemático que nos ayuda a explicar los resultados de un experimento real. Si esta distribución de probabilidad está ligada a una variable aleatoria continua se llama Distribución de Probabilidad Continua.

Un ejemplo: El tiempo que se tarda en correr una determinada distancia es una variable aleatoria continua. Miles de corredores demoran entre 1 y 2 horas en la maratón. Medidos en los tiempos en intervalos de 10 minutos, se registraron las siguientes frecuencias: Estos datos pueden graficarse:

6) En la anterior gráfica, el área de cada rectángulo indica las frecuencias relativas fr correspondientes a cada intervalo. Para averiguar la frecuencia de llegada entre el minuto 73 y el 92 hay que hallar el área en rojo.


Hagamos el ejercicio (en pro de buscar continuidad) achicar los intervalos de tiempo en que se miden las frecuencias, obtendríamos algo muy similar a lo siguiente:Tomado los tiempos de minuto en minuto podríamos entonces obtener histrogramas de escalones más cortos. Y si este proceso se hace idealmente continuo, la función escalonada que limita los rectángulos se transforma en una función continua. En los dos casos, el area coloreada nos da la frecuencia relativa (o la probabilidad) de las llegadas de corredores entre los minutos 73 y 92.


Resumamos:


a) Tenemos una distribución de probabilidad continua cuando conocemos una función f(x) que nos da la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores dentro del intervalo


b) Esta probabilidad se mide por el área comprendida entre la gráfica de f(x) y el eje OX, desde x1 hasta x2. Denotaremos esta área por S(x1,x2)


c) En una distribución de probabilidad continua solo cabe hablar de probabilidad de que una variable X pertenezca a un intervalo. Podemos preguntarnos por:

En cambio:

P(X=x1) = P(X=x2) = 0

FUNCION DENSIDAD:


A la función f(x) anterior, que nos permite hallar, por cálculo de áreas, las probabilidades en las distribuciones continuas se le llama función Densidad (de Probabilidad) de la variable aleatoria x.
Para que una función f(x) sea función de densidad de x, se deben cumplir las siguinetes condiciones:

a) El área total comprendida entre la gráfica de la función f(x) y el eje OX es 1. En Particular, si x puede tomar solamente valores de a hasta b, entonces:

S(a,b) = 1

Ver Imagen anterior en 1)

b) La probabilidad de que la variable x esté en un intervalo cualquiera (x1,x2), viene dada por el área bajo la función f(x) entre x1 y x2. Es decir,


Ver imagen anterior en 2)

Y nuevamente es necesario tener en cuenta:


7) FUNCIÓN de DISTRIBUCION:

Dada una variable aleatoria X que toma valores en el intervalo (a,b), se llama Función de Distribución (de probabilidades) de X a la función F(x) definida por:

Mide la probabilidad de que la variable X tome valores menores o iguales que un cierto valor x. En otras palabras, describe la probabilidad acumulada, hasta cada x, de la variable aleatoria X. Su valor está dado por:

F(x) = S(a,x)

Veamos las propiedades FUERZA de la Función Distribución: