lunes, 21 de septiembre de 2009

Inducción, Inducción Completa

INDUCCION COMPLETA:

(TEXTO: Extracto editado del libro de Polya: "Cómo plantear y cómo resolver un problema")

La inducción es un modo de razonar que conduce al descubrimiento de leyes generales a partir de la observación de ejemplos particualres y de sus combinaciones. Se emplea en todas las aciencias, aún en las matemáticas, donde se focaliza a la demostración de ciertos tipos de teoremas.realicemos primero una:

INDUCCION SIMPLE
(no como protocolo de demostración)

Casualmente podemos observar que:
1 + 8 + 27 + 64 = 100
Y, constatando que dichos numeros son cubos y su suma un cuadrado, podemos presentar esta observación bajo la forma siguiente:
¿Sucederá siempre que la suma de cubos de números consecutivos sea siempre un cuadrado?

Un científico partiría por tratar de comprobar otros casos, encontrando:
El hecho de que estas diversas sumas de cubos consecutivos sean cuadrados dificilmente puede atribuirse al azar .... Así en primera instancia podríamos decir -por inducción simple: "la suma de los primeros n cubos es un cuadrado .....

Luego la fórmula, la podemos expresar de manera más aprecisa ahora, nuevamente induciendo ....
Pero esta expresión aún es posible simplificarse, porque la suma de la derecha posee una fórmula. Efectivamente es posible disponer una fórmula para:
1+2+3+4+5+6+ .......... + (n-2) + (n-1) + n

Esta fórmula es:
Esta fórmula es fácilmente demostrable y se basa en el mismo tipo de argumentos antes visto en la "Suma de Gauss". Pensemos en la suma que queremos lograr, llamémosla "S":

Escribámosla al revés: Y luego procedamos a sumar ambas sumas S:
Entonces, tras nuestra inducción intuitiva, la gran fórmula que hemos construido es:

Hasta aquí hemos estado pirateando a POLYA !!!!!
Esta es la fórmula que ahora procederemos a DEMOSTRAR por INDUCCION COMPLETA, un protocolo matemático establecido. Nótese que comstruimos la fórmula inductivamente, pero no bajo el protocolo que es conocido como Inducción Matemática y que ahora revisaremos:

INDUCCION COMPLETA
(Como protocolo de demostración)


La Inducción Completa posee un protocolo que resumimos a contiuación:

1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.
2) Se supone que se cumple para n.
3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).
Demostremos entonces el teorema-fórmula anterior:

Hay que demostrar que, para n natural:
Procedamos paso a paso los tres elementos del protocolo anteriomente descrito:
1) Se verifica si la fórnula se cumple para algunos casos sencillos, los más fáciles, los iniciales.
para n = 1
Se cumple la fórmula !
para n= 2 Se cumple la fórmula !
2) Se supone que se cumple para n.
Aceptamos entonces que se cumple para n:
3) A partir de la aceptación de cumplirse para n, se comprueba que parmanece cierta para el siguiente entero (n+1).
Sumemos (n+1) al cubo a la fórmula anterior:Fíjense que la fórmula es como si en n hubiésemos reemplazado (n+1) .....
Se CUMPLE para (n+1) !!!!! q.e.d.
- - - - -
Que dice la Enciclopedia Encarta de lo que es la inducción?
Inducción matemática, axioma y a veces método de demostración usando el axioma de inducción. La inducción matemática no debe confundirse con la inducción en otros campos, en donde se define como la técnica de extracción de conclusiones generales a partir de un gran número de casos o experimentos individuales. En matemáticas, esta conclusión, aunque pueda parecer completamente razonable, puede ser falsa. Sin embargo, la inducción matemática se usa a menudo para verificar, o probar, una conjetura obtenida mediante inducción no matemática. Hablando con precisión, el axioma de inducción dice: si M es un conjunto de enteros positivos, con las siguientes propiedades
IA. M contiene al entero 1, y,
IIA. si M contiene al entero n, se puede demostrar que M contiene además al entero n + 1,entonces M contiene a todos los enteros positivos.
La primera parte del axioma de inducción, IA, suele llamarse base, y la segunda parte, IIA, parte inductiva. El axioma de inducción es útil para demostrar ciertas expresiones matemáticas. Suponiendo que la proposición P(n) es verdadera o falsa dependiendo sólo del valor de la n, el axioma de inducción se puede utilizar para demostrar que si
IB. P(1) es verdadera, y
IIB. el saber que P(n) es verdadera, implica que P(n+1) es también verdadera,
entonces P(n) se cumple para cualquier n.
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8 comentarios:

  1. Mas que aclarar confunde este diccionario.
    Hay dos principios generales de demostración por inducción.
    Uno en el cual a partir de un número tienes que probar el siguiente. Que es el que aquí se comenta.
    Otro en el cual supones que es cierto no sólo para el predecesor inmediato si no para todos los anteriores, i.e.:
    si para todo k= n0 ( p(n) implica p(n+1) ) ] entonces [para todo n>=no( p(n) ) ]
    2, Inducción completa) Si para todo n>=n0 [ ( para todo k=n0( p(n) ) ]

    Muchos paréntesis sobran pero creo que ayudan a la lectura. Ojo porque no es lo mismo para todo n>n0 (p(n) implica p(n+1)) que (para todo n>n0 p(n) ) implica p(n0+1).
    Lo primero expresa el paso de inducción y lo segundo es sólo una concreción de la variable, i.e., de ser cierto para todos los casos se obtiene que es cierto para uno.
    Saludos

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  2. No se que ocurrió, falta la mitad de mi comentario anterior

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  3. Lo vuelvo a poner en dos partes a ver si así. Ya el admin que lo arregle

    Mas que aclarar confunde este diccionario.
    Hay dos principios generales de demostración por inducción.
    Uno en el cual a partir de un número tienes que probar el siguiente. Que es el que aquí se comenta.
    Otro en el cual supones que es cierto no sólo para el predecesor inmediato si no para todos los anteriores, i.e.:
    si para todo k<n p(k) entonces p(n). En este segundo método tampoco hay base de la inducción, viene implícita.
    A este segundo principio se le suele llamar inducción completa para distinguirlo del otro al que se le llama "inducción simple" o simplemente "inducción".

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  4. segunda parte

    Resumiendo:
    1, Inducción) Si[ p(n0) y para todo n>= n0 ( p(n) implica p(n+1) ) ] entonces [para todo n>=no( p(n) ) ]
    2, Inducción completa) Si para todo n>=n0 [ ( para todo k=n0( p(n) ) ]

    Muchos paréntesis sobran pero creo que ayudan a la lectura. Ojo porque no es lo mismo para todo n>n0 (p(n) implica p(n+1)) que (para todo n>n0 p(n) ) implica p(n0+1).
    Lo primero expresa el paso de inducción y lo segundo es sólo una concreción de la variable, i.e., de ser cierto para todos los casos se obtiene que es cierto para uno.
    Saludos

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  5. Vaya metodo malo para los comentarios, se los come por la mitad en lugar del final y quedan mal.

    Todavía se ha comido una buena parte.
    Lo vuelvo a poner y si te iteresa ya arreglas este desaguisado:

    Resumiendo:
    1, Inducción) Si[ p(n0) y para todo n>= n0 ( p(n) implica p(n+1) ) ] entonces [para todo n>=no( p(n) ) ]
    2, Inducción completa) Si para todo n>=n0 [ ( para todo k=n0( p(n) ) ]

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  6. Resumiendo:
    1, Inducción) Si[ p(n0) y para todo n>= n0 ( p(n) implica p(n+1) ) ] entonces [para todo n>=no( p(n) ) ]
    2, Inducción completa) Si para todo n>=n0 [ ( para todo k=n0( p(n) ) ]

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  7. 2, Inducción completa) Si para todo n>=n0 [ ( para todo k=n0( p(n) ) ]

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  8. No hay manera, debe ser algo de que el bot interpreta en lugar de poner lo que se escribe y ya está y los corchetes y tal le confunden.
    Borralo todo anda, porque vaya jaleo. Cada vez peor

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