Distribución Normal (II)

Distribución Normal - Campana de Gauss:

Introducción:

1) La distribución de probabilidad continua más importante es la DISTRIBUCION NORMAL.

2) Ejemplos en que se aplica: estatura, peso, diámetro craneal de recién nacidos, controlesde calidad en procesos de fabricación, consumo d agua per cápita, coeficiente intelectual, distribución de errores en una serie de medidas ....

3) Esto muestra que "normalmente" los casos extremos son extraños, tendiendo la maroría a agruparse en torno de la media: los tipos medios aparecen con mayor frecuencia.Función Densidad de la Distribución Normal:La función densidad f(x) de la distribución normal fue planteada por primera vez por Gauss y su expresión analítica, que citamos sólo a título informativo es de tipo exponencial. En concreto, para una variable continua

Para que esta f(x) sea una función de densidad de probabilidad, habría que demostrar que el área entre la curva f(x) y el eje OX vale 1. Laplace fue uno de los que logró demostrarlo.

La representación de la campana de Gauss es:

Las características de la curva normal son las siguientes:

1) El dominio de la definición de la variable normal es toda la recta R.

2) f(x) es simétrica respecto de la media.

3) El Máximo de f(x) se alcanza en la media.

4) La curva tiene asintóticamente al eje OX cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.

5) El área comprendida entre la curva f(x) y el eje OX desde menos infinito hasta k nos da el valor de la probabilidad de que x sea menor o gual a k.
Una curva normal queda completamemte determinada cuando se conocen la media y la desviación típica de la variable X. Esta curva se le conoce como:

Las funciones de densidad de ella constituyen una fanilia de curvas, y la forma de cada una de ellas depende de su media y de su desviación típica. En la Figura se ve la influencia de los parámetros. la desviación típica estrecha o ensancha la curva, la media la desplaza a izquierda o derecha:

MEDIA y DESVIACION TIPICA DE UNA DISTRIBUCION NORMAL

En una distribución normal, la media y la desviación típica nos permiten establecer las siguientes probabilidades precisas:

1) El 68,26 % de los valores de X están a menos de una desviación típica de la media.
2) El 95,44 están a menos de dos desviaciones típicas.
3) El 99,74 % están a menos de 3 desviaciones típicas.

Veamos gráficamente:

O dicho de otro modo:

LA DISTRIBUCION NORMAL ESTÁNDAR

¿Pero cómo calcular el área limitada por f(x) hasta el valor k, desde menos infinito?Esto NO se puede calcular por fórmulas simples.Para aliviar esta dificultad, se hicieron ca´lculos MUY precisos en áreas de una campana de Gauss muy particular y cuando se necesita estudiar otra campana, hay formulas des traslado.El caso especial elegido es el de la variable normal tipificada, esto es, la que tiene como distribución normal N(0,1) - es decir - de media 0 y desviación típica 1. Se le conoce como DISTRIBUCION NORMAL TIPIFICADA o ESTÁNDAR.

Se la designa con la letra Z y hay tablas como la que adjunto un poco más abajo,

Para Z, se han calculado las áreas bajo la curva desde menos infinito hasta Z=k, como a continuación:

USO de la Tabla NORMAL

Esta tabla da la probabilidad de menos infinito hasta Z=k.

La simetría de la curva normal y el hecho de que el área limitada por ella y el eje OX desde menos infinito a hasta más infinito es 1, permiten calcular las probabilidades correspondientes a otras situaciones.

Ejemplo:

TIPIFICACION de una VARIABLE:

Las variables normales que se enecuentran en las aplicaciones, no suelen tener media 0 y desviación típica 1.
Lo que se hace es relacionar una muestra normal de media distinta de cero y desviación típica distinta de 1 con una normal (0,1) mediante un cambio de variable:

Y para efectos prácticos esto significaría: Ejemplo: Las estaturas de las chicas europeas de 18 años tiene una distribución N(165,7). Si elegimos una al azar, calcula la probabilidad de que su estatura sea Menor de 172 cm.