Problemas deTrabajos

Problemas de Trabajos:

Si un trabajador o máquina puede realizar un trabajo en un tiempo a y otro en un tiempo b, la ecuación que permite calcular el tiempo t que demoran ambos en realizar conjuntamente el mismo trabajo es:

(Fuente: PreU. P. de Valdivia)

Problema de Edades

En este tipo de problemas es bueno hacer tablas o líneas de tiempo en que se reflejen las edades en los distintos períodos que aparecen.

Axiomas de Peano

Axiomas de Peano:

1. El cero es un número.
2. Si n es un número, el sucesor de n también lo es.
3. A números distintos corresponden distintos sucesores.
4. El cero no es sucesor de ningún número.
5. El principio de Inducción: Si una propiedad inductiva se cumple para el cero, entonces se cumple para todos los números.

Consideraciones:

a) Peano Giuseppe, en 1989 da a conocer los anteriores axiomas. A partir de ellos es suficiente con el cero para generar los números naturales a partir de la noción de "sucesor".
b) Se dice que una propiedad es inductiva si cada vez que se cumple para un número, se cumple también para su sucesor.
c) El sistema de Peano contiene tres ideas primitivas: Cero, Número y Sucesor; y cinco axiomas o postulados básicos.
d) Con este sobrio material es posible (re)construir la aritmética y ofrecer un fecundo panorama de números definidos uno por uno: a partir del cero. Con la idea de sucesor se genera la sucesión:

0, 1, 2, 3, 4, 5 ....

Número Trascendente

Número TRASCENDENTE (Extracto de Wikipedia):

Un número trascendente (o trascendental) es un tipo de número irracional que no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes enteros (o racionales). En este sentido, número trascendente es antónimo de número algebraico. La definición no proviene de una simple relación algebraica, sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas.

El conjunto de números algebraicos es numerable, mientras el conjunto de números reales es no numerable; por lo tanto, el conjunto de números trascendentes es también no numerable, de lo que se deduce que hay muchos más números trascendentes que algebraicos.

Sin embargo, existen muy pocos números trascendentes conocidos, y demostrar que un número es trascendente puede ser extremadamente difícil. Por ejemplo, todavía no se sabe si la constante de Euler (Γ) lo es.

La existencia de los números trascendentes fue probada en 1844 por Joseph Liouville, quien mostró ejemplos, entre ellos la Constante de Liouville.

El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873.

En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente.

En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben a la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos.

Es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método (permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba) o con métodos similares a la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

Teorema de Bernoulli

Teorema de Bernoulli: Se le conoce también como "primera ley de los grandes números" o "ley empírica del azar". Se enuncia: "Si efectuamos un número grande de ensayos de cierto experimento, es poco probable que la frecuencia relativa de un acontecimiento se separe mucho de su probabilidad". Esta ley puede ayudar a predecir ciertos acontecimientos.

Unidad

Unidad: En un número de dos cifras, corresponde al dígito que se ubica en primer lugar, de derecha a izquierda, y representa la cantidad de objetos que no fue posible agrupar de a 10. Por ejemplo, si se cuentan 25 automóviles, el número 5 representa 5 unidades.

Cercha

Cercha: Aparato que permite dibujar curvas como parábolas, elipses, hipérbolas, etc. Su uso es común en los dibujantes de planos.

Deltoide

Deltoide: Cuadrilátero que tiene dos poares de lados iguales, pero no los opuestos. Se forma al unir dos triángulo isósceles por sus bases que son iguales. Sus diagonales son perpendiculares y sólo una queda dimidiada por la otra.

Número Perfecto

Número Perfecto: Número que es igual a la suma de sus divisores excluído el mismo; el menor de tales números es el 6, que es igual a la suma de sus 3 dividores: 1,2,3. El siguiente es en 28, suma de 1,2,4,7 y 14.

Fracción Continua

Fracción Continua: una fracción continua es una expresión de la forma:

donde ao es un entero y todos los demás números an son enteros positivos. Si se permite que los numeradores o los denominadores parciales tomen valores arbitrarios, que podrían ser funciones en algún contexto, la expresión resultante es una fracción continua generalizada.

Cuando fuera necesario distinguir la forma típica de arriba de una generalizada aquella se denominará fracción continua regular o simple.

Notación:

[1;2,3,4,5] =

Muestras Aleatorias

Muestras Aleatorias:

Para asegurarse que las inferencias que se hagan a partir de las muestras de una población sean válidas, las muestras deben ser escogidas de acuerdo a criterios que las hagan representativas de dicha población.

Un criterio para lograrlo es el de elección aleatoria de muestras, que significa que cada miembro de la población tiene la misma probabilidad de ser incluido en la muestra.

Tal propósito se puede lograr asignándole un número a cada miembro de la población y hacer un sorteo eligiendo papeletas con los mismos números asignados; alternativamente se puede hacer usando tablas de números aleatorios especialmente construidas para ese fin.

Método Solución Ecuación Cuadrática por Cambio de Variable

Extracción de Raíz Cuadrada

Extracción de Raíz Cuadrada:

1) Se divide en porciones de dos cifras, desde la derecha.

2) Se extrae raíz cuadrada de la primera porción de la izquierda (por defecto).

Raíz cuadrada de 45 es 6 y sobran 9.

3) A la derecha de esta resta se escribe la porción siguiente, 96, y se forma el número 996. Se separa la cifra de la derecha por una coma colocada arriba (99'6).

4) El número de la izquierda de la cifra separada se divide por el doble de la raíz encontrada.

99:12 =7.

5) Se escribe esta cifra 7 a la derecha de la raiz y también a la derecha del divisior.

6) Se multiplica 7 por 127 y el producto se resta de 996; la resta es 107.

7) A la derecha de esta resta 107 se escribe la porción siguiente, 84, y se forma 10 784.

8) Se separa la última cifra (4) por una coma (1078'4) y el número 1 078 se divide por el doble de la raíz encontrada, por 134.

1 078: 134 = 8

9) Se escribe 8 a la derecha de la raíz y también a la derecha del divisor.

10) Se multiplica 8 por 1 348 y el producto se resta de 10 784; la resta es cero.

PARA UN NUMERO DECIMAL :

Si el número es decimal, la separación en grupos de a dos cifras se principa desde la coma a uno y otro sentido, completando con cero, si el número de cifras decimales es impar. Se debe colocar la coma en la raíz al terminar la operación con la última porción entera.

Para calcular cifras decimales, se agrega a la resta dos ceros por cada cifra decimal que se calcule.

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(Tomado de: "Curso de Matemáticas Elementales - ALGEBRA" Francisco Prôschle)

Método Deductivo

Método Deductivo: Usado principalmente en el razonamiento científico y es por ello es que es central en matemáticas y en geometría. Consiste en encadenar conocimientos que se suponen ciertos para obtener nuevos conocimientos, o sea, para obtener nuevas proposiciones iniciales.

Círculo

Círculo: Superficie plana limitada por la circunferencia.

Velocidad Media

VELOCIDAD MEDIA:

Supongamos que un ser humano conduce un coche por espacio de un kilómetro a 60 km por hora y otro kilómetro a 120 Km por hora. ¿Cuál es la velocidad promedio?

Tendemos a responder esta pregunta ampliando al procedimiento común para calcular promedios.Cuando alguien compra un par de zapatos en $ 5 y otro en $ 10, el precio promedio es de $5 + $10 entre 2, o sea, S7.50.

Así las cosas, lo primero que se nos ocurre es que promedio del problema planteado sería 60 + 120 divididos entre 2, o sea, 90 Km por hora.Pero ésta no es la solución correcta. El número 90 es un buen promedio en sentido aritmético, pero no es el promedio que buscamos.

La velocidad promedio o velocidad media debe ser aquella que permitiría al chofer recorrer dos kilómetros en el mismo tiempo que le tomó cubrir esa distancia a dos velocidades diferentes.Nuestro hombre empleó 1 minuto en recorrer el primer kilómetro, 1/2 minuto en recorrer el segundo. Empleó, pues, 1 ½ minutos en manejar 2 kilómetros.

Nos preguntamos ahora qué velocidad promedio sería necesaria para recorrer 2 kilómetros en 1 1/2 minutos. Como la velocidad media multiplicada por el tiempo total debe dar la distancia total, la velocidad media será la distancia total dividida entre el tiempo total:

Velocidad Media = 2/(3/2)= 4/3

La Velocidad Media es entonces 4/3 km por minuto u 80 Km por hora.

Diferencia entre Axiomas y Postulados (Suposiciones o Supuestos)

Los griegos basaron sus construcciones matemáticas sobre verdades evidentes que llamaron axiomas. Incluso Sócrates y Platón creían que estas verdades iniciales ya estaban en nuestras mentes al nacer y que sólo debíamos recordarlas.

Hoy se considera que los axiomas son indicados por la experiencia y la observación. Y si bien es cierto que el sustrato axiomático se construye con aquellas verdades más claras y dignas, no se debe olvidar que algunos axiomas NO sean verdades absolutas.

Para destacar el anterior punto hay matemáticos que prefieren emplear los términos de Postulado, Suposición o Supuesto, en lugar de usar el término axioma.

Fracciones en Notación Posicional

Expresemos la fracción 1/4 en Notación Posicional:

Ecuaciones Fraccionarias

Ecuaciones Fraccionarias:

La ecuación fraccionaria es aquella cuando algunos de sus términos o todos tienen denominadores.

Para resolver este tipo de ecuaciones se aplica el siguiente método:

Multiplicar los miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores que aparecen.

Efectuar las operaciones indicadas en los paréntesis.

Agregar y reducir términos en los miembros de la igualdad.

Colocar los términos en "x" en un miembro y los numéricos en otro.

Resolver la ecuación equivalente de rimer grado obtenida.

Comprobar el resultado con la ecuación dada.

(Tomado del Preu-Pedro de Valdivia)

Ecuaciones - Conceptos Varios

Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que contienen elementos desconocidos llamados incógnitas.

Raíz o Solución: de una ecuación es (son) el (los) valor(es) de la(s) incógnita(s) que satisface(n) la igualdad.

Conjunto Solución: es el conjunto cuyos elementos son las raíces o soluciones de la ecuación.

Resolver una Ecuación: es encontrar valores que reemplazados en la ecuación en lugar de la incógnita, hace que la igualdad sea verdadera. Para ello se debe despejar o aislar la incógnita.

Ecuaciones Equivalentes: son aquellas que tienen el mismo conjunto de solución.

Problemas de Dígitos

Problemas de Dígitos:

Un número A está escrito en notación ampliada o desarrollada si se expresa como la suma de las cantidades que resulten de multiplicar cada dígito de dicho número por la potencia de 10 correspondiente a su posición ( ... centena, decena, unidad,décima, centésima, ...)

Ángulos Suplementarios

Ángulos Suplementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Si dos ángulos suman 180º entonces cada uno es el suplemento del otro. El suplemento de un ángulo x es 180 - x.

Ángulos Complementarios

Ángulos Complementarios: Son dos ángulos cuyas medidas suman 90º. Si ambos suman 90º entonces cada uno es el complemento del otro. El complemento de un ángulo x es 90- x.

Tipos de Ángulos

Tipos de Ángulos:

Ángulo Nulo: Es el que mide 0º.

Ángulo Agudo: Es el que mide más de 0º y menos de 90º.

Ángulo Recto: Es el que mide 90º.

Ángulo Obtuso: Es el que mide másde 90º y menos de 180º.

Ángulo Extendido: Es el que mide 180º.

Ángulo Completo: Es el que mide 360º.

Análisis Soluciones Ecuación de Primer Grado

Análsis Soluciones Ecuación Primer Grado:

El número de soluciones de la ecuación: ax + b = 0 depende de los valores de a y b. Se pueden dar tres casos:

Caso 1: Si a es distinto de cero, la ecuación tiene solución única.

Caso 2: Si a es igual a cero y b es igual a cero, la ecuación tiene infinitas soluciones.

Caso 3: Si a es igual a cero y b es distinto de cero, la ecuación NO tiene solución.