jueves, 21 de enero de 2010

Números Irracionales

Números Irracional:

En matemáticas, un número irracional es cualquier número real que no es racional, es decir, es un número que no puede ser expresado como una fracción \frac{m}{n}, donde m y n son enteros, con n diferente de cero y donde esta fracción es irreducible.

El Plano Complejo

Plano Complejo:

El Plano Complejo (relativo a los números Complejos) de z= x + iy.

En coordenadas cartesianas (x,y), el eje x dirigido horizontalmente hacia la derecha es el eje REAL; el eje Y dirigido verticalmente hacia arriba es el eje IMAGINARIO.

viernes, 8 de enero de 2010

Raíz de 2 es irracional (en palabras) - Reducción al ABSURDO


LA REDUCCIÓN AL ABSURDO Y LA RAÍZ CUADRADA DE DOS

El argumento pitagórico original sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 dependía de una clase de argumento llamado reducción al absurdo: suponemos de entrada la verdad de una afirmación, seguimos sus consecuencias y desembocamos en una contradicción, lo que nos permite determinar su falsedad.

Tome­mos un ejemplo moderno y consideremos el aforismo del gran físico del siglo veinte, Niels Bohr: "Lo contrario de cualquier gran idea es otra gran idea." Si la afirmación fuera cierta sus consecuencias podrían ser como mínimo algo peligrosas. Consideremos por ejemplo lo contrario de la Regla de Oro evangélica, o de las prescripciones contra la mentira, o del precepto "no matarás". Consideremos pues si el mismo aforismo de Bohr es en sí una gran idea, Si así es, la afirmación contraria, "lo contrario de cualquier gran idea no es una gran idea" también debe ser cierta. Hemos llegado entonces a una reducción al absurdo. Si la afirmación contraria es falsa podemos dejar de lado el aforismo porque ha confesado claramente que no es una gran idea.

Presentamos aquí una versión moderna de la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 utilizando la reducción al absurdo y un álgebra sencilla en lugar de la demostración exclusivamente geométrica descubierta por los pitagóricos. El estilo del argumento, el modo de pensar, son por lo menos tan interesantes como la conclusión:

Consideremos un cuadrado cuyos lados tienen una longitud unidad (un centímetro, un metro, un año luz, lo que sea). La línea diagonal BC divide al cuadrado en dos triángulos, cada uno de los cuales contiene un ángulo recto. En estos triángulos rectángulos es válido el teorema de Pitágoras:

y escribiremos

raíz cuadrada de dos.

Supongamos que (Raíz cuadrada de 2) sea un número racional: (Raíz cuadrada de 2) = p/q, donde p y q son números enteros. Pueden ser tan grandes como queramos y representar los números enteros que queramos. Podemos exigir desde luego que no tengan factores comunes. Si quisiéramos afirmar por ejemplo que (Raíz cuadrada de 2) = 14/10, eliminaríamos el factor común 2 y escribiría­mos p = 7 y q = 5, no p= 14 y q = 10. Hay que eliminar cualquier factor común de numerador y denomi­nador antes de empezar.

Tenemos para escoger un número infinito de pes y de qus. Si elevamos al cuadrado los dos términos de la ecuación (Raíz cuadrada de 2) = p/q, obtenemos


y luego multiplicando ambos términos de la ecuación por (q al cuadrado) llegamos a la

Ecuación (1):
Por lo tanto (p al cuadrado) es algún número multiplicado por 2. Es decir que/?2 es un número par. Pero el cuadrado de cualquier número impar es también impar (12= 1, 32 = 9, 52 = 25, 72 = 49, etc.). Por lo tanto también/? hade ser par, y podemos escribir/? = 2s , siendo s algún entero. Si sustituimos este valor de/? en la ecuación ( 1 ) obtenemos:


Dividiendo ambos miembros de esta última igualdad por 2, obtenemos:


Por lo tanto (q al cuadrado) es también un número par y se deduce por el mismo argumento utilizado con p que q también es un número par. Pero si p y q son ambos números pares, ambos divisibles por 2, no se redujeron a su mínimo común denominador, lo cual contradice uno de nuestros supuestos. Reducción al absurdo. El argu­mento no puede decirnos que esté prohibido reducir los factores comunes, que 14/10 esté permitido y en cambio 7/5 no lo esté. Luego el supuesto inicial ha de ser erróneo; p y q no pueden ser números enteros, y raíz de 2 es irracional.


De hecho (Raíz de 2) = 1,4142135...

¡Qué conclusión más asombrosa e inesperada! ¡Qué demostración más elegante! Sin embargo los pitagóricos se sintieron obligados a ocultar este gran descubrimiento.

(Tomado íntegro
del libro "COSMOS" de Carl Sagan, 2000
Apéndice 1
Página 347)

¿ Por qué sólo puede haber 5 sólidos Pitagóricos ?


LOS CINCO SÓLIDOS PITAGÓRICOS:

Un polígono (que significa en griego "de muchos ángulos") regular es una figura bidimensional con un cierto número n de lados iguales. Si n = 3, el polígono es un triángulo equilátero; si n = 4 es un cuadrado; si n = 5 es un pentágono, etc. Un poliedro (que significa en griego "de muchas caras") es una figura tridimensional cuyas caras son todas polígonos: un cubo, por ejemplo, cuyas caras son 6 cuadrados. Un poliedro simple, o sólido regular, es un poliedro sin agujeros. Un hecho fundamental en la obra de los pitagóricos y de Johannes Kepler es que sólo hay y puede haber 5 sólidos regulares. La demostración más fácil deriva de una relación descubierta mucho después por Descartes y por Leonhard Euler que relaciona el número de caras, C, el número de aristas, A y el número de vértices, V, de un sólido regular:
V - A + C = 2 (Ecuación 2)

En un cubo, por ejemplo, hay 6 caras (C = 6), y 8 vértices (V=8), 8 - A + 6 = 2, 14 - A = 2, y A = 12; la ecuación (2) predice que el cubo tiene 1 2 aristas, y así es. Puede consultarse una demostración geométrica sencilla de la ecuación (2) en la obra de Courant y Robbins citada en la bibliografía. A partir de la ecuación (2) podemos demostrar que sólo hay cinco sólidos regulares.

Toda arista de un sólido regular es compartida por los lados de dos polígonos adyacentes. Imaginemos de nuevo el cubo en el cual cada arista hace de frontera entre dos cuadrados. Si contamos todos los lados de todas las caras de un poliedro, «C, habremos contado dos veces todas las aristas. Por lo tanto
nC = 2A (Ecuación 3)
Sea r el número de aristas que convergen en cada vértice. En un cubo r= 3. También ahora cada arista conecta dos vértices. Si contamos todos los vértives, rV, habremos contado del mismo modo dos veces cada arista. Por lo tanto,
rV = 2A (Ecuación 4)
Si sustituimos los valores de V y C de las ecuaciones (3) y (4), en la ecuación (2) obtenemos:


Si dividimos ambos términos de esta ecuación por 2A, tendremos

Sabemos que n es 3 o más, porque el polígono más simple es el triángulo, con tres lados. Sabemos también que r es 3 o más, porque en un vértice dado de un poliedro se encuentran por lo menos 3 caras. Si tanto n como r fueran simultáneamente más de 3 , el primer término de la ecuación (5 ) sería inferior a 2/3 , y la ecua­ción no podría satisfacerse para cualquier valor positivo de A. Por lo tanto, y gracias a otro argumento basado en la reducción al absurdo, o bien n = 3 y r vale 3 o más, o bien r = 3 y n vale 3 o más. Si n = 3, la ecuación (5) se convierte en

(l/3)+(l/r) = (l/2) + (1/A), o bien:



Es decir, que en este caso r sólo puede ser igual a 3, 4 o 5 . (Si A valiese 6 o más, la ecuación no se cumpliría.) Ahora bien, n = 3, r= 3 designa un sólido en el cual convergen en cada vértice 3 triángulos. La ecuación (6) dice que este sólido tiene 6 aristas, la ecuación (3) que tiene 4 caras, la ecuación (4) que tiene 4 vértices. Es evidente que se trata de la pirámide o tetraedro; si n = 3, r = 4 tenemos un sólido con 8 caras en el cual conver­gen en cada vértice 4 triángulos, el octaedro; y si n = 3, r = 5 tenemos un sólido con 20 caras y con 5 triángulos convergiendo en cada vértice, el icosaedro. Si r= 3, la ecuación (5) se convierte en:

Y utilizando argumentos semejantes n sólo puede ser igual a 3, 4 o 5. Si n=3 tenemos de nuevo el tetraedro; si n=4 tenemos un sólido cuyas caras son 6 cuadrados, el cubo; y si n=5 el sólido tiene 12 caras formadas por pentágonos, el dodecaedro.

No hay valores enteros posibles de n y r, y por lo tanto sólo hay 5 sólidos regulares, conclusión deducida de la matemática más abstracta y bella, y que como hemos visto tuvo un impacto muy profundo sobre los asuntos prácticos de la humanidad.


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(Tomado íntegro de

"Cosmos"

de Carl Sagan.

Apéndice 2,

página348.

Edición del 2000)

Coordenadas Polares

COORDENADAS POLARES:
La representación Cartesiana no es la única forma de localizar los puntos en el plano.

Por ejemplo, en una pantalla circular de radar, es más conveniente dar la posición de un punto luminoso mediante su distancia al centro y su dirección angular.

Esto está expresado en la Representación en Coordenadas Polares, que se muestra a continuación:

lunes, 4 de enero de 2010

Demostración Matemática

Demostración Matemática
De Wikipedia, la enciclopedia libre

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis. Estos pasos deben estar fundamentados en la aplicación de reglas de deducción (fundadas ya sea en axiomas o en teoremas anteriormente demostrados o en reglas básicas de deducción del sistema en cuestión).

El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad; sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.

Aunque en general no existe un procedimiento único de demostración de teoremas, sí existen diferentes tipos de demostraciones que son utilizados comúnmente en matemáticas:
Demostración por contraposición
Demostración por reducción al absurdo, y como caso particular,
descenso infinito
Inducción matemática
Inducción fuerte

Por otra parte, a pesar del alto grado de intervención humana necesario para hacer una demostración, también existen técnicas computacionales que permiten hacer demostraciones automáticas, notablemente en el campo de la geometría euclideana.

(Nota, en este Blog se han tratado ya la reducción al absurdo y la demostración por reducción al absurdo)

Propiedades de las Desigualdades

Propiedades de las Desigualdades: Mostraremos solamente las TRES propiedades más importantes de las desigualdades ....


NOTA IMPORTANTE:

Si a ambos lados de una desigualdad se multiplica por un número negativo, la desigualdad se invierte!


viernes, 1 de enero de 2010

Inecuación Primer Grado con una Incógnita

Inecuación Primer Grado (Lineal) con una Incógnita: Es una desigualdad formada por números reales y una incónita.

Ejemplos a,b,c,d de Inecuaciones Lineales con una Incógnita:

Resolver una inecuación significa determinar un conjunto de solución de números reales que hacen que la desigualdad se cumpla. Para esto se pueden utilizar las propiedades de las desigualdades.

Ejemplo: Resolver la siguiente Inecuación:

Nota: Para resolver inecuaciones que contengan expresiones fraccionarias con incógnita en el numerador y en el denominador, se pueden agrupar todos los términos en un sólo miembro de la inecuación, de modo de etner una inecuación de la forma:

Luego se analiza para qué valores de a y b se satisface la desigualdad. Veamos un ejemplo resuleto: