Función Secante - Gráfica

Función Cosecante - Gráfica

Función Cotangente - Gráfica

Algunas Propiedades Coeficientes Binomiales

Productos y Factores Notables I

Productos y Factores Notables II

Teorema Euclides - Imágenes

Adición y Sustracción de ángulos

Adición (Sustracción) de Ángulos:

Para sumar (o restar) medidas de ángulos se deben sumar (o restar) las mismas unidades, es decir, grados con grados, minutos con minutos, etc., después se deben convertir a la unidad superior, si es posible.

En la sustracción, del mismo modo que en la adición, se operan las mismas unidades, pero previamente se debe asegurar que las unidades del minuendo sean mayores que las correspondientes del sustraendo, lo que se consigue transformando grados en minutos, o minutos en segundos, de acuerdo con sus equivalencias, en forma análoga al ejemplo anterior.

(Tomado del Manual PSU de la Universidad Católica)

Multiplicar por un Negativo una Inecuación

AL MULTIPLICAR POR UN NÚMERO NEGATIVO

UNA INECUACIÓN,

SE INVIERTE EL SENTIDO DE ÉSTA ....

Un ejemplo y dos formas de verlo:

Muchas veces un enfrenta un

problema como el anterior ....

Y al llegar al punto crucial:

uno dice:

AHORA MULTIPLICAMOS por

(-1)

La desigualdad se da vuelta!

OTRA FORMA:

y llegamos a lo mismo ....

Tronco de Pirámide o Pirámide Truncada

Tronco de Pirámide o Pirámide Truncada:

Si una pirámide se corta por un plano paralelo a la base resultan una pirámide menor y un tronco de pirámide. La base de la pirámide menor es un polígono semejante al polígono basal de la pirámide original.

Desarrollo Poliedros Regulares

Cuadrantes

Signo de las Funciones Trigonométricas

La función SENO es positiva en los cuadrantes I y II y negativa en los cuadrantes III y IV

La función COSENO es positiva en los cuadrantes I y IV y negativa en los cudrantes II y III.

La función TANGENTE es positiva en los cidrantes I y III y negativa en los cusdrantes II y IV.

Teorema de Guldin

Teoremas de Guldin:

Son muy útiles para determinar la superficie y el volumen de los cuerpos engendrados por una figura plana que gira en torno a un eje situado en el mismo plano que ella:

1) La superficie de un cuerpo de rotación es igual alproducto del perímetro de la figura que la engendra por el camino recorrido por su centro de gravedad.

2) El volumen de un cuerpo de rotación es igual al producto de la superficie de la figura que lo engendra por el camino recorrido por su centro de gravedad.

Ejemplo:

Respuesta:

Singularidad

Singularidad: Una singularidad es un punto o región del espacio-tiempo en donde las ecuaciones matemáticas de una teoría fallan porque falta alguna cantidad se vuelve infinita. El centro de un agujero negro es un ejemplo de esta singularidad en la teoría general de la relatividad, como lo es el origen del universo en el modelo del big bang. Penrose y Hawking han demostrado una serie de teoremas sobre la natulaeza e incidencia de estas singularidades. Su existencia en la teoría de Einstein indica que la relatividad general puede ser incompleta. Se necesita una teoría cuática de la gravedad para describir las priopiedades de la materia en la enormes densidades que corresponden al big bang o a un agujero negro.

(Hawking y la mente de Dios, Coles Peter)

Leyes Álgebra de Conjuntos

Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khuarizmi

Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khuarizmi:

(780 d.C. - 850 d.C.)

Matemático y astrónomo. Su obra más importante, "Kitab al-muhtasar fi hisab al-gabr wa-al-muqabala", es un tratado de teoría de las ecuaciones.

Matemático, astrónomo y geógrafo musulmán, Mohammed Ibn Musa abu Djafar Al-Khwarizmi, nació probablemente en la ciudad persa de Khwarizm (actual Khiva, en Uzbekistan), situada al sudeste del mar de Aral, en la vieja ruta de la seda, que había sido conquistada 70 años antes por los árabes. Su nombre significa "Mohamed, hijo de Moisés, padre de Jafar, el de Khwarizm".

Hacia el 820, Al'Khwarizmi fue llamado a Bagdad por el califa abasida Al Mamun, segundo hijo de Harun ar Rashid, conocido por todos gracias a las "Mil y una noches". Al Mamun continuó el enriquecimiento de la ciencia árabe y de la Academia de Ciencias creada por su padre, llamada la Casa de la Sabiduría. Se tradujeron al árabe obras científicas y filosóficas griegas e hindúes, y contaba con observatorios astronómicos. En este ambiente científico y multicultural se educó y trabajó Al-Khwarizmi, el cual dedicó sus tratados de álgebra y astronomía al propio califa. Todo este florecimiento traería importantes consecuencias en el desarrollo de la ciencia en Europa, principalmente a través de España.

Sabemos también que realizó viajes por Afganistán, el sur de Rusia y Bizancio (hoy Turquía). Falleció en Bagdad hacia el año 850. Para muchos, fue el más grande de los matemáticos de su época.

La mayoría de sus diez obras son conocidas en forma indirecta o por traducciones hechas más tarde al latín (muchas de ellas en Toledo) y de algunas sólo se conoce el título. Al-Khwarizmi fue un recopilador del conocimiento de los griegos e hindúes, principalmente de matemáticas, pero también de astronomía (incluyendo el calendario judío), astrología, geografía e historia. Su trabajo más conocido y usado fueron sus Tablas Astronómicas, basadas en conocimientos de los hindúes. Incluyen algoritmos para calcular fechas y las primeras tablas conocidas de las funciones trigonométricas seno y cotangente.

De su aritmética, posiblemente denominada originalmente "Kitab al-Jam'a wal-Tafreeq bil Hisab al-Hindi", sólo conservamos la versión latina, Algoritmi de Numero Indorum, del siglo XII. En esta obra describe con detalle el sistema hindú de numeración posicional en base 10 y la manera de para hacer cálculos con él. Se sabe que había un método para hallar raíces cuadradas en la versión árabe, pero no aparece en la versión latina. Fue esencial para la introducción de este sistema de numeración en el mundo árabe y posteriormente en Europa. El que nos haya llegado a través de los árabes hace que le llamemos habitualmente sistema de numeración árabe, cuando deberíamos llamarlo indo-arábigo. Posiblemente fuese el primero en utilizar el cero como una cifra.

Su tratado de álgebra es una introducción compacta al cálculo, usando reglas para completar y reducir ecuaciones. Además de sistematizar la resolución de ecuaciones cuadráticas, también trata geometría, cálculos comerciales y de herencias. Quizás éste es el libro árabe más antiguo conocido y parte de su título "Kitab al-jabr wa'l-muqabala" da origen a la palabra álgebra. Los términos al-jabr y al-muqabala se utilizan para denominar lo que nosotros entendemos por transposición de términos y posterior simplificación de términos semejantes con coeficientes negativos y positivos. Una posible traducción del título sería "El libro de restaurar e igualar" o "El arte de resolver ecuaciones". La palabra algebrista se utiliza también en "El Quijote" con un significado ya en desuso, pero que hace referencia a ese significado de restauración o recomposición. En el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua podemos leer: "Algebrista, 2. (desusado) Cirujano dedicado especialmente a la curación de dislocaciones de huesos."

(Tomado de: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/alkhwarizmi.htm)

Fracciones Compuestas

Fracciones Compuestas:

Son fracciones que tienen en sus numeradores y/o denominadores una o más fracciones o exponentes negativos.

Tres Ejemplos:

Inecuación Cuadrática - Método de los Puntos Críticos - Ejemplo

=o=o=o=o=o=o=o=o=o=

Nota: En este diccionario también está la solución analítica, en otro posteo.

Inecuación Cuadrática - Solución Analítica - Ejemplo

=0=0=0=0=0=0=0=0=0=

Nota: En este diccionario, también está la solución a esta inecuación,

por el Método de los Puntos Críticos.

Estructura Axiomática

Axiomas (Postulados) - Extructura Axiomática:

Los axiomas o postulados (actualmente sinónimos) corresponden a proposiciones que acpetamos de común acuerdo y que nos sirven, por decirlo de alguna manera, como las "reglas de juego" en el campo de las matemáticas.

La elección de los axiomas o postulados es una cuestión de conveniencia; sin embargo, de cualquier forma en que se elijan, todos ellos deben cumplir con los siguientes requisitos:

1. El número de axiomas de la teoría debe ser el mínimo posible.

2. Los axiomas deben ser independientes entre sí. Esto significa que ninguno de ellos puede deducirse de otro. Si así fuera, significaría que dicho axioma es superfluo y por lo tanto puede suprimirse sin perjudicar la teoría.

3. Los axiomas deben ser compatibles, Esto significa que ninguno de ellos puede contradecir algún otro.

Tales axiomas no son consecuendia de otras proposiciones, sin embargo, a partir de ellos y de sus combinaciones, podemos deducir otras proposiciones (los teoremas).

(Tomado de Manual de Preparación PSU Matemáticas, U. Católica)

Apolonio

Apolonio: vivió aproximadamente desde el 262 a. de C. al 190 a. de C., respecto de sus obras se han perdido casi todas, sólo 2 de ellas han llegado hasta nuestros días: Secciones en una razón dada (aunque se conserva una versión árabe) y Las Cónicas (cuyo original se conserva en un 50% y el resto también es una versión árabe).

Las Cónicas está formada por 8 libros y en el cuarto, trata de las formas en que se puede cortar un cono por un plano.

Cónicas

Convertir Grados Sexagesimales a Radianes

Conversión de Grados Sexagesimales a Radianes: la relación de conversión es:

Tabla de Conversiones

Pantógrafo

Pantógrafo:

El Pantógrafo es un instrumento que sirve para construir figuras semejantes.

Dos figuras son semejantes cuando tienenla misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño.

Las figuras construidas con el Pantógrafo tienen sus lados respectivamente paralelos.

Eje Simetría - Ejemplo

EJE SIMETRIA : x = 3

Demostración Geométrica del teorema Particular de Pitágoras

Función Periódica

FUNCIÓN PERIÓDICA:

Una función real f es periódica cuando existe un número real t ≠ 0 tal que para todo

x ∈ Dom( f ) se tiene:

a) x + t ∈ Dom( f )

b) f (x + t) = f (x)

El menor número real positivo t, cuando existe, se denomina el período de f, y en este

caso se dice que f es una función periódica con período t.

Funcion Creciente, Función Decreciente

CRECIENTE:

Una función f es creciente en un intervalo I cuando,

para todo a,b ∈ I:

es decir, cuando su gráfica sube de izquierda a derecha.

DECRECIENTE:

Una función f es decreciente en un intervalo I cuando,

para todo a,b ∈ I:

es decir, cuando su gráfica baja de izquierda a derecha.

Gráfica de una FUNCION

A continuación se describen algunos pasos a seguir para obtener un esbozo de la gráfica de y=f(x), por medio de la representación de puntos:

1) Determinar los puntos de intersección de y=f(x) con cada eje coordenado.

2) Construir una tabla de valores de f. Escoger un grupo representativo de valores de x en el dominio de f, y construir una tabla de valores (x,f(x)).

3) Representar los puntos (x,f(x)) considerados en la tabla, en el sistema de coordenadas.

4) Unir los puntos representados por medio de una curva suave.

Nota: Muchas curvas diferentes pasan a través de los puntos considerados en la tabla de valores. Para aproximarse mejor a la curva que represente a la función dada, graficar nuevos puntos.

Función Cúbica

Función Constante

Teorema del Resto - Teorema del Factor

1) Teorema del Resto:

El teorema del resto afirma que el resto " r " que resulta de dividir un polinomio p(x) por (x-a) es p(a).

Ejemplo:

=====================================================

2) Teorema del Factor:

Una consecuencia directa (del teorema del resto) es que (x − a) es un factor del polinomio f(x) si y sólo si f(a) = 0.

Ejemplo:

Grado, Minuto, Segundo

Del latín gradus, que significa 'paso, marcha, escalón, peldaño'. Está claro.

Lo que resulta más curioso es el origen de sus subdivisiones, los minutos y los segundos. Resulta que Ptolomeo, llevado por la superioridad del sistema de numeración sexagesimal babilónico, dividió los grados en sesenta primeras partes menores y cada una de estas en sesenta segundas partes menores. Los traductores latinos de la obra de Ptolomeo las llamaron, respectivamente,partes minutae primae y partes minutae secundae.

El tiempo y la pereza harían que nos quedásemos tan solo con minutae y secundae, es decir, 'minutos' y 'segundos', aunque en origen solo significasen 'menor' y 'segunda'.

(Tomado de Epsilones)

Googol, Googolplex

Es el nombre propio del número 10¹⁰⁰. Le fue dado por el sobrino de nueve años de Edward Kasner. Y ya que estaban, también inventaron el googolplex, que es un uno seguido de un googolde ceros

La verdad es que mucha utilidad no es que tengan, pues todos los números utilizados en ciencia son menores que estos (el número de átomos del universo, por ejemplo, se estima en 10⁸⁵), pero son bonitos.

Algunos dicen que el googol es el mayor número con nombre propio, pero no es cierto: los budistas tienen desde hace mucho más tiempo el asankhyeya, que vale 10¹⁴⁰.

A propósito del googol, Charo nos cuenta que en este nombre se inspiraron los creadores de un conocido buscador de internet para nombrar su producto.

(Tomado de Epsilones)

Geometría - Concepto

Geometría: Proviene del griego γεωμετρία, y está compuesta de geo-, tierra, y metron, medida, con lo que literalmente quiere decir 'medida de la tierra', es decir, 'agrimensura', lo cual nos indica uno de los orígenes de esta rama de la matemática. El otro estaría en los cielos, donde los antiguos miraban para elaborar cada vez más perfectos calendarios.

Seguro que todo esto ya lo sabías. Lo que quizá no sabías es que Pitágoras, un gran acuñador de términos, a la geometría la llamaba historia, que quiere decir 'investigación', 'información'.

La geometría está en los orígenes de la matemática. Quizá por eso, o por la gran influencia deDescartes, a los matemáticos en el siglo XVIII se les llamaba geómetras.

(Tomado de Epsilones)

Criptografía

Criptografía: La etimología de esta palabra es bastante evidente: cripto- significaría 'oculto' y -grafía 'escritura', es decir, escritura oculta o secreta.

El origen es griego, κρυπτός (criptós), 'oculto, secreto, engañoso', de donde derivó también la palabra gruta y, a partir de esta, grotesco. Más tarde surgiría cripta como cultismo.

(Tomado de Epsilones)

Algoritmo, Guarismo

En De numero indorum (el original árabe se ha perdido), Al-Khowarizmi hizo una exposición tan completa del método de numeración hindú que se acabó conociendo como el sistema de Al-Khowarizmi, que daría lugar después a los términos guarismo para cada uno de los signos con los que se representan los números y algoritmo para referirse al sistema completo, este último por influjo del griego arithmós, 'número', y el castellano logaritmo.

Hoy día algoritmo se utiliza para designar cualquier conjunto ordenado y finito de operaciones que permite resolver un problema concreto.

(Tomado de Epsilones)

Algebra (Álgebra)

Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, la obra más importante del matemático árabe Al-Khowarizmi, que parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: elálgebra. Al-jabr quiere decir algo así como 'restitución', que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita.

	Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrarás que junto a su significado matemático aparece otro desusado, el de 'arte de restituir a su lugar los huesos dislocados'. Por eso algebrista es tanto el matemático dedicado al álgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepción de algebrista es la de 'alcahuete'. Algo tendrá que ver.
				Página deKitab al-jabr (Epsilones)

Paradoja

Paradoja:

Del griego paradoxa, de para, 'más allá', y dóxa, 'opinión'. Es decir, que paradoja es 'lo que está más allá de la opinión común'.

En castellano lo podemos entender en dos sentidos: uno más general, más literal, como aquello que va en contra de la opinión común, del sentido común, digamos, y otro, más concreto, como aquello que encierra contradicción. Es este segundo sentido el más querido en matemáticas, aunque el primero no deja de tener su interés.

(Tomado de Epsilones)

Teorema Particular de Thales

Teorema Particular de Thales:

Una recta paralela a un lado de un triángulo que intersecta los otros dos lados, determina en estos últimos segmentos proporcionales.

Teorema de Thales - Corolario

Corolario del Teorema de Thales:

Si los lados de un ángulo o sus prolongaciones se intersectan con un haz de rectas paralelas, los segmentos que se determinan en los lados del ángulo son proporcionales:

En la figura: Si L1 // L2 // L3 //L4, entonces:

(Tomado de Manual PSU - U.Católica)

Teorema de Thales

Teorema de Thales: Dado un haz de al menos tres rectas paralelas, cortadas por dos transversales, las paralelas determinan en las transversales segmentos proporcionales.

Así, si en la figura anterior, las rectas: (Recta)AA', (Recta)BB', (Recta)CC' y (Recta)DD' son paralelas, entonces el teorema deThales nos dice que las longitudes de los segmentos en uno de los lados son proporcionales a las longitudes de los segmentos en el otro lado. Eso se escribe así:

(Tomado Manual PSU - U.Católica)

Ángulo Comprendido y Arco Capaz

Ángulo Comprendido: Es el arco que queda entre los lados del ángulo del centro.

Arco Capaz: Es el arco que queda de la circunferencia descontando el arco comprendido por el ágnulo.

Proyecciones sobre Línea Recta