Probabilidad Condicional

Consideremos la diferencia entre:

1) Elegir al azar un artículo de un lote con sustitución.
2) Elegir al zara un artículo de un lote sin sustitución.

Pensemos en un lote de artículos con 80 artículos buenos y 20 defectuosos.

Supongamos que elegimos 2 artículos, uno tras otro con y sin sustitución:

Definamos los siguientes eventos:

A = { el primer artículo es defectuoso}
B = { el segundo artículo es defectuoso}

Si escogemos con sustitución: P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5

Pero si escogemos sin sustitución, P(A) sigue siendo igual a 1/5, pero P(B) se debe calcular sabiendo lo que ha pasado la primera vez que se escogió ....

Llamaremos a P(B/A) :

Probabilidad Condicional del evento B, dado que A ha ocurrido.

P(B/A), en nuestro ejemplo es = 19/99, porque si A ha ocurrido, entonces al sacar opor segunda vez quedan sólo 99 artículos, de los cuales sólo 19 son defectusos, puesto que hemos sacado uno de ellos ...

Cada vez que calculamos P(B/A) esencialmente estamos calculando P(B) respecto al espacio muestral reducido A, en vez del espacio muestral original.

Deducción Intuitiva de la fórmula de P(B/A):

Pensemos en el experimento de lanzar dos dados NO truncados y que anotamos los resultados (x1,x2) ,,,, en las abcisas los resultados del primer dado y en las ordenadas los resultados del segundo dado.

El espacio muestral, de 36 resultados igualmente probables es:

S={ (1,1), (1,2), ....., (1,6), (2,1), (2,2) ..... (2,6), (3,1), (3,2) .... (6,6)}

Consideremos los siguientes eventos:

A={(x1,x2) / x1+x2=10}
..... Todas las parejas que suma 10.
B={(x1,x2) / x1 es mayor que x2}
..... Todas las parejas en donde la abcisa es mayor que la ordenada.

A={ (5,5), (4,6), (6,4) }
: 3 casos
B= { (2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)}
: 15 casos

P(A) = 3/36
P(B) = 15/36

P(B/A) = 1/3 ya que el espacio muestral es ahora A (con tres resultados) y sólo uno de ellos es tal que la abcisa es mayor que la ordenada: par (6,4).

De forma similar:
P(A/B) = 1/15 (referido al par: (6,4))

Finalmente calculemos P(A intersectado con B): Este evento ocurre si y sólo si la suma de los dos dados es 10 y el pri,mer dado arroja un número mayor que en el segundo. P(A intersectado con B) = 1/36

Si observamos los diversos valores que hemos obtenido, se da:

Sucede que esta relación no sólo aparece en este ejemplo particular sino que son completamente generales y son el medio para definir formalmente la Probabilidad Condicional.

Notas Importantes:

1) Si A y B son mutuamente excluyentes: P(A/B) = 0, porque B impide la ocurrencia de A.

2) Si A es subconjunto de B: P(B/A) = 1